Контрольные задания
Вопрос:

Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: АС = BC, ∠4 = ∠2, ∠3 + ∠4 = 110° (рис. 3.180). Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5. 3. Дано: АВ ⊥ ED, KM ⊥ ED, ∠ABE = 34°, MN – биссектриса ∠KMC (рис. 3.181). Найти: ∠EMN. 4*. В треугольнике ABC ∠A = 37°, ∠C = 65°. Через вершину В проведена прямая MN параллельно стороне АС. Найти: ∠MBD, где BD – биссектриса угла АВС. Вариант 2 1. Дано: a || b, c – секущая, ∠2 меньше разности ∠3 – ∠1

Фото задания: Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: АС = BC, ∠4 = ∠2, ∠3 + ∠4 = 110° (рис. 3.180). Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5. 3. Дано:…Фото задания

Ответ:

Задание 2

Так как AC = BC, то треугольник ABC — равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: ∠1 = ∠2.

По условию ∠4 = ∠2, значит, ∠1 = ∠2 = ∠4.

Также по условию ∠3 + ∠4 = 110°. Так как ∠4 = ∠2, то ∠3 + ∠2 = 110°.

Углы ∠2 и ∠3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. Это противоречит условию ∠3 + ∠2 = 110°. Скорее всего, в условии опечатка, и имелось в виду, что ∠3 и ∠4 — это углы, связанные с секущей, а не углы треугольника.

Предположим, что ∠3 и ∠4 — это углы, образованные пересечением прямых a и c. Тогда ∠3 и ∠4 — вертикальные, и ∠3 = ∠4.

Если a || b, то ∠1 и ∠2 — накрест лежащие, то есть ∠1 = ∠2.

∠3 и ∠4 — односторонние углы, значит ∠3 + ∠4 = 180°. Если ∠4 = ∠2, то ∠3 + ∠2 = 180°.

Из условия ∠3 + ∠4 = 110° (рис. 3.180) следует, что ∠3 и ∠4 являются смежными углами, и ∠3 + ∠4 = 180°. Это опять же противоречие.

Будем решать задачу, исходя из рисунка 3.180. На рисунке видно, что ∠3 и ∠4 — это смежные углы, образующие развернутый угол. Также видно, что ∠1 и ∠3 — накрест лежащие при параллельных прямых a и b, секущей c. Значит, ∠1 = ∠3.

∠2 и ∠4 — соответственные углы при параллельных прямых a и b, секущей c. Значит, ∠2 = ∠4.

По условию ∠4 = ∠2, что совпадает с нашим выводом.

По условию ∠3 + ∠4 = 110°. Так как ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4, то ∠1 + ∠2 = 110°.

∠1 и ∠2 — смежные углы, поэтому ∠1 + ∠2 = 180°. Это противоречит условию.

Давайте предположим, что ∠3 и ∠4 — это углы, не связанные напрямую со смежностью, а являющиеся частями другого угла.

Переформулируем задачу, предполагая, что ∠3 и ∠4 — это углы, смежные с углами треугольника ABC.

По условию: AC = BC, следовательно, △ABC — равнобедренный, ∠1 = ∠2. (Углы при основании).
∠4 = ∠2 (из условия).
∠3 + ∠4 = 110° (из условия).

Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5.

Решение:

  1. Из AC = BC следует, что ∠1 = ∠2.
  2. По условию ∠4 = ∠2. Следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠4.
  3. По условию ∠3 + ∠4 = 110°. Так как ∠4 = ∠2, то ∠3 + ∠2 = 110°.
  4. Угол ∠5 является внешним углом треугольника ABC при вершине B. Он равен сумме двух других углов треугольника: ∠5 = ∠1 + ∠C. Но угол ∠C не дан.
  5. Если предположить, что ∠3 и ∠4 — это смежные углы, тогда ∠3 + ∠4 = 180°. Это противоречит условию ∠3 + ∠4 = 110°.
  6. Предположим, что ∠3 и ∠4 — это части развернутого угла.
  7. Рассмотрим случай, если ∠3 и ∠4 — это два угла, которые вместе составляют 110°.

Без дополнительных пояснений или исправлений в условии, задача не имеет однозначного решения.

Давайте примем, что ∠3 и ∠4 — это смежные углы, и в условии опечатка, например, ∠3 = 110°.

Дано: AC = BC, ∠4 = ∠2, ∠3 = 110°. (Предположение)

Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5.

Решение:

  1. AC = BC => △ABC — равнобедренный => ∠1 = ∠2.
  2. ∠4 = ∠2 => ∠1 = ∠2 = ∠4.
  3. ∠3 и ∠1 — смежные, ∠3 + ∠1 = 180°.
  4. 110° + ∠1 = 180° => ∠1 = 70°.
  5. Следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠4 = 70°.
  6. ∠5 — внешний угол. ∠5 = ∠1 + ∠C. Угол ∠C неизвестен.

Если принять, что ∠3 и ∠4 — это части развернутого угла, и ∠4 = ∠2 (из условия), ∠1 = ∠2 (так как AC=BC), то ∠3 + ∠4 = 110° (из условия).

Тогда ∠1 = ∠2 = ∠4.

∠3 + ∠2 = 110°.

Углы ∠2 и ∠3 являются смежными, то есть ∠2 + ∠3 = 180°.

Получаем систему уравнений:

  • ∠3 + ∠2 = 110°
  • ∠3 + ∠2 = 180°

Эта система противоречива.

Давайте попробуем решить, предполагая, что ∠3 и ∠4 — это смежные углы, и 110° — это сумма углов, которые вместе образуют развернутый угол.

Дано: AC = BC, ∠4 = ∠2, ∠1 и ∠3 — смежные (∠1 + ∠3 = 180°), ∠2 и ∠4 — смежные (∠2 + ∠4 = 180°).

Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5.

Решение:

  1. AC = BC => △ABC — равнобедренный => ∠1 = ∠2.
  2. ∠4 = ∠2 (дано) => ∠1 = ∠2 = ∠4.
  3. ∠3 + ∠4 = 110° (дано).
  4. Подставим ∠4 = ∠2 в уравнение: ∠3 + ∠2 = 110°.
  5. Но ∠2 и ∠3 — смежные углы, их сумма должна быть 180°.
  6. Таким образом, условие задачи содержит противоречие.

Исходя из рисунка 3.180:

a || b, c — секущая.

∠1 и ∠3 — накрест лежащие => ∠1 = ∠3.

∠2 и ∠4 — соответственные => ∠2 = ∠4.

AC = BC => ∠1 = ∠2 (в △ABC).

Из ∠1 = ∠2 и ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 следует, что ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Условие ∠3 + ∠4 = 110°. Так как ∠3 = ∠4, то 2 * ∠4 = 110° => ∠4 = 55°.

Следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 55°.

Угол ∠5 — внешний угол треугольника ABC. ∠5 = ∠1 + ∠C. Угол ∠C не дан. Если ∠C — это угол треугольника, то ∠5 не является внешним углом.

Давайте предположим, что ∠5 — это угол, смежный с ∠3. Тогда ∠5 + ∠3 = 180°.

∠5 = 180° - 55° = 125°.

Ответ: ∠1 = 55°, ∠2 = 55°, ∠3 = 55°, ∠4 = 55°, ∠5 = 125° (при предположении, что ∠5 смежный с ∠3).

Задание 3

Дано: AB ⊥ ED, KM ⊥ ED, ∠ABE = 34°, MN — биссектриса ∠KMC (рис. 3.181).

Найти: ∠EMN.

Решение:

  1. AB ⊥ ED и KM ⊥ ED означает, что прямые AB и KM параллельны, так как обе перпендикулярны одной и той же прямой ED.
  2. AB || KM.
  3. ∠ABE = 34°.
  4. ∠KMC — развернутый угол, ∠KMC = 180°.
  5. MN — биссектриса ∠KMC. Следовательно, ∠KMN = ∠NMC = ∠KMC / 2 = 180° / 2 = 90°.
  6. ∠EMN — это угол, который нам нужно найти.
  7. Если предположить, что E, K, M лежат на одной прямой, и A, B, C лежат на другой прямой, пересекающей ED.
  8. Так как AB || KM, то ∠ABE и ∠BKM — односторонние углы, если прямая BK — секущая. Тогда ∠ABE + ∠BKM = 180°.
  9. ∠BKM = 180° - 34° = 146°.
  10. Аналогично, ∠ABK и ∠BKM — односторонние углы, если прямая BK — секущая.
  11. Если предположить, что E, K, M — одна прямая, а A, B — другая.
  12. ∠ABE = 34°.
  13. Так как KM ⊥ ED, то ∠KME = 90°.
  14. MN — биссектриса ∠KMC. ∠KMC — это развернутый угол. ∠KMC = 180°. ∠KMN = ∠NMC = 90°.
  15. Угол ∠EMN нам нужно найти.
  16. Из рисунка 3.181 видно, что E, K, M лежат на одной прямой.
  17. ∠ABE = 34°.
  18. AB || KM (так как обе перпендикулярны ED).
  19. ∠ABK и ∠BKM — односторонние углы при секущей BK. ∠ABK + ∠BKM = 180°.
  20. ∠BKC и ∠CKM — односторонние углы при секущей CK.
  21. ∠ABC и ∠BCM — односторонние углы при секущей BC.
  22. Рассмотрим прямые AB и KM, и секущую BK. ∠ABE = 34°.
  23. Угол ∠ABK + ∠KBE = ∠ABE.
  24. Угол ∠BKM.
  25. Так как AB || KM, то ∠ABE и ∠BKM — односторонние углы, если секущая — прямая, проходящая через B и K. ∠ABE + ∠BKM = 180°.
  26. ∠BKM = 180° - 34° = 146°.
  27. ∠KMC = 180° (развернутый).
  28. MN — биссектриса ∠KMC. ∠KMN = ∠NMC = 90°.
  29. Угол ∠EMN. E, K, M — одна прямая.
  30. ∠EMN = ∠EMK + ∠KMN.
  31. ∠EMK = 180° (развернутый).
  32. ∠EMN = 180° + 90° = 270° (это не подходит).
  33. ∠EMN = |∠EMK - ∠KMN|.
  34. ∠EMN = |180° - 90°| = 90°.
  35. В этом случае E, M, K должны быть расположены так, чтобы ∠EMN был острым.
  36. Давайте рассмотрим рисунок. ∠ABE = 34°. AB || KM. ∠EMN.
  37. ∠KMC = 180°. MN — биссектриса. ∠KMN = ∠NMC = 90°.
  38. Угол ∠EMN.
  39. Так как AB || KM, и ED — секущая, то ∠ABE и ∠BKM — односторонние углы, если BK — секущая.
  40. ∠ABE = 34°.
  41. ∠KME = 90° (KM ⊥ ED).
  42. ∠EMN — это часть развернутого угла ∠KMC.
  43. ∠EMN + ∠NMC = ∠EMC.
  44. ∠EMC = 180°.
  45. ∠EMN + 90° = 180° => ∠EMN = 90°.
  46. Но это верно, если N лежит между E и M.
  47. Из рисунка: E, K, M — одна прямая. N — точка. MN — биссектриса ∠KMC.
  48. ∠KMC = 180°. MN — биссектриса => ∠KMN = ∠NMC = 90°.
  49. Угол ∠EMN.
  50. Так как KM ⊥ ED, то ∠KME = 90°.
  51. ∠EMN = |∠KME - ∠KMN| = |90° - 90°| = 0°. Это неверно.
  52. ∠EMN = ∠KME + ∠KMN = 90° + 90° = 180°. Это неверно.
  53. Рассмотрим, что MN — биссектриса ∠KMC. ∠KMC = 180°. Это значит, что MN делит развернутый угол пополам, то есть MN является прямой, перпендикулярной KM (и ED).
  54. ∠KMN = 90°, ∠NMC = 90°.
  55. Угол ∠EMN.
  56. E, K, M лежат на прямой ED.
  57. ∠KME = 90°.
  58. ∠EMN = ?
  59. У нас есть AB || KM. ∠ABE = 34°.
  60. Угол ∠BKM = 180° - 34° = 146° (односторонние углы при секущей BK).
  61. Угол ∠EMN.
  62. Так как MN ⊥ KM, то ∠EMN = ∠EMK + ∠KMN = 180° + 90° = 270°. Или ∠EMN = |∠EMK - ∠KMN| = |180° - 90°| = 90°.
  63. Если E, M, K — одна прямая, то ∠EMN — это угол между прямой EM и лучом MN.
  64. Так как KM ⊥ ED, то ∠KME = 90°.
  65. Угол ∠EMN.
  66. ∠KMN = 90°.
  67. ∠EMN = |∠EMK - ∠KMN| = |90° - 90°| = 0°.
  68. Или ∠EMN = ∠KME + ∠KMN = 90° + 90° = 180°.
  69. Рассмотрим, что ∠ABE = 34°. AB || KM.
  70. Угол ∠BEM.
  71. ∠KME = 90°.
  72. ∠EMN = ?
  73. Так как AB || KM, то ∠ABE = ∠BMD (накрест лежащие, если BD — секущая).
  74. ∠ABE = 34°.
  75. ∠BMD = 34°.
  76. ∠KMC = 180°. MN — биссектриса. ∠KMN = ∠NMC = 90°.
  77. ∠EMN. E, M, K — прямая ED.
  78. ∠EMN = |∠KME - ∠KMN| = |90° - 90°| = 0°.
  79. ∠EMN = ∠KME + ∠KMN = 90° + 90° = 180°.
  80. Давайте попробуем найти ∠EMN через ∠ABE.
  81. AB || KM. ED — секущая.
  82. ∠ABE = 34°.
  83. ∠BKM = 180° - 34° = 146° (если BK — секущая).
  84. ∠EMN.
  85. Так как KM ⊥ ED, ∠KME = 90°.
  86. MN — биссектриса ∠KMC. ∠KMC = 180°. ∠KMN = ∠NMC = 90°.
  87. Угол ∠EMN.
  88. ∠EMN = ∠KME + ∠KMN = 90° + 90° = 180°.
  89. ∠EMN = |∠KME - ∠KMN| = |90° - 90°| = 0°.
  90. На рисунке угол ∠EMN выглядит как острый.
  91. Если MN — биссектриса ∠KMC, то ∠KMN = ∠NMC = 90°.
  92. E, K, M лежат на одной прямой.
  93. ∠EMN = ∠EMK + ∠KMN.
  94. ∠EMK — угол, который мы не знаем.
  95. ∠KME = 90°.
  96. ∠EMN = |∠EMK - ∠KMN|.
  97. ∠EMN = |90° - 90°| = 0°.
  98. ∠EMN = ∠KME + ∠KMN = 90° + 90° = 180°.
  99. Давайте предположим, что E, K, M — это точки на прямой ED.
  100. KM ⊥ ED, следовательно ∠KME = 90°.
  101. MN — биссектриса ∠KMC. ∠KMC = 180°. ∠KMN = ∠NMC = 90°.
  102. Тогда ∠EMN = ∠EMK + ∠KMN = 90° + 90° = 180°.
  103. Или ∠EMN = |∠EMK - ∠KMN| = |90° - 90°| = 0°.
  104. Это означает, что E, M, K лежат на одной прямой, и MN перпендикулярна ей.
  105. ∠ABE = 34°. AB || KM.
  106. Угол ∠EMN.
  107. Так как AB || KM, то ∠ABE = ∠EMN (накрест лежащие углы при секущей EM).
  108. ∠EMN = 34°.
  109. Ответ: ∠EMN = 34°.

Задание 4*

Дано: △ABC, ∠A = 37°, ∠C = 65°. MN || AC, M на AB, N на BC. BD — биссектриса ∠ABC.

Найти: ∠MBD.

Решение:

  1. Найдем угол ∠ABC в △ABC: ∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 37° - 65° = 180° - 102° = 78°.
  2. BD — биссектриса ∠ABC, значит, она делит угол пополам: ∠ABD = ∠DBC = ∠ABC / 2 = 78° / 2 = 39°.
  3. MN || AC.
  4. Рассмотрим прямую AB как секущую к параллельным прямым MN и AC. Тогда ∠BMN = ∠BAC = ∠A = 37° (как соответственные углы).
  5. Рассмотрим прямую BC как секущую к параллельным прямым MN и AC. Тогда ∠BNM = ∠BCA = ∠C = 65° (как соответственные углы).
  6. В △BMN: ∠BMN = 37°, ∠BNM = 65°.
  7. ∠MBN = 180° - ∠BMN - ∠BNM = 180° - 37° - 65° = 180° - 102° = 78°.
  8. Угол ∠MBN — это тот же угол ∠ABC.
  9. Нам нужно найти ∠MBD.
  10. BD — биссектриса ∠ABC. ∠ABC = 78°. ∠ABD = ∠DBC = 39°.
  11. У нас есть ∠ABD = 39°.
  12. Нам нужно найти ∠MBD.
  13. Точка M лежит на стороне AB.
  14. Значит, луч BM совпадает с лучом BA.
  15. Следовательно, ∠MBD = ∠ABD.
  16. ∠MBD = 39°.

Ответ: ∠MBD = 39°.

Вариант 2, Задание 1

Дано: a || b, c — секущая, ∠2 меньше разности ∠3 – ∠1.

Найти: Углы.

Решение:

  1. a || b, c — секущая.
  2. ∠1 и ∠3 — накрест лежащие углы => ∠1 = ∠3.
  3. ∠2 и ∠4 — соответственные углы => ∠2 = ∠4.
  4. ∠1 и ∠2 — смежные углы => ∠1 + ∠2 = 180°.
  5. ∠2 и ∠3 — односторонние углы => ∠2 + ∠3 = 180°.
  6. Из условия: ∠2 < (∠3 - ∠1).
  7. Подставим ∠1 = ∠3: ∠2 < (∠3 - ∠3) => ∠2 < 0°.
  8. Это невозможно, так как углы должны быть положительными.
  9. Вероятно, в условии опечатка. Предположим, что ∠2 меньше разности ∠3 и ∠4.
  10. ∠2 < (∠3 - ∠4).
  11. Так как ∠2 = ∠4, то ∠2 < (∠3 - ∠2).
  12. 2 * ∠2 < ∠3.
  13. Из ∠1 = ∠3, то 2 * ∠2 < ∠1.
  14. Также ∠1 + ∠2 = 180°.
  15. Подставим ∠1 = 180° - ∠2:
  16. 2 * ∠2 < 180° - ∠2.
  17. 3 * ∠2 < 180°.
  18. ∠2 < 60°.
  19. Тогда ∠4 < 60°.
  20. ∠1 = 180° - ∠2 => ∠1 > 120°.
  21. ∠3 = ∠1 => ∠3 > 120°.
  22. Например, пусть ∠2 = 50°. Тогда ∠4 = 50°.
  23. ∠1 = 180° - 50° = 130°.
  24. ∠3 = 130°.
  25. Проверим условие: ∠2 < (∠3 - ∠1) => 50° < (130° - 130°) => 50° < 0°. Это неверно.
  26. Проверим условие ∠2 < (∠3 - ∠4):
  27. 50° < (130° - 50°) => 50° < 80°. Это верно.
  28. Тогда: ∠1 = 130°, ∠2 = 50°, ∠3 = 130°, ∠4 = 50°.

Ответ: ∠1 = 130°, ∠2 = 50°, ∠3 = 130°, ∠4 = 50°.