Найти все первообразные данной функции (1-17). 1. 3 3x3 4x². 2. 3 1/x - 3/x³. 3. 3 x³ – 2x. 4. 4 -3/x² + 4/x³. 5. 4 2 sin x + x². 6. 5 √x - 2/√x. 7. 4 4e* + x³. 8. 4 √x + 2x²√x. 9. 4 sin 2x + 3 cos 3x. 10. 5 4e-2x + (x - 1)³. 11. 5 2/√x+3 - sin² 2x. 12. 6 2 cos² x/2. 13. 6 x/1+x. 14. 7 1/(x²-5x+6). 15. 7 cos x sin 3x. 16. 7 x³/(x+1). 17. 8 (2x + 5)/(x²+5x+4).

Задание 1.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(3x^3\) равна \(\frac{3}{4}x^4\).
• Первообразная от \(-4x^2\) равна \(-\frac{4}{3}x^3\).

Ответ: \(\frac{3}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + C\)

Задание 2.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(\frac{1}{x}\) равна \(\ln|x|\).
• Первообразная от \(-\frac{3}{x^3}\) равна \(\frac{3}{2x^2}\).

Ответ: \(\ln|x| + \frac{3}{2x^2} + C\)

Задание 3.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(x^3\) равна \(\frac{x^4}{4}\).
• Первообразная от \(-2x\) равна \(-x^2\).

Ответ: \(\frac{x^4}{4} - x^2 + C\)

Задание 4.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(-\frac{3}{x^2}\) равна \(\frac{3}{x}\).
• Первообразная от \(\frac{4}{x^3}\) равна \(-\frac{2}{x^2}\).

Ответ: \(\frac{3}{x} - \frac{2}{x^2} + C\)

Задание 5.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(2\sin x\) равна \(-2\cos x\).
• Первообразная от \(x^2\) равна \(\frac{x^3}{3}\).

Ответ: \(-2\cos x + \frac{x^3}{3} + C\)

Задание 6.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(\sqrt{x}\) равна \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\) или \(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\).
• Первообразная от \(-\frac{2}{\sqrt{x}}\) равна \(-4\sqrt{x}\).

Ответ: \(\frac{2}{3}x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + C\)

Задание 7.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(4e^x\) равна \(4e^x\).
• Первообразная от \(x^3\) равна \(\frac{x^4}{4}\).

Ответ: \(4e^x + \frac{x^4}{4} + C\)

Задание 8.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(\sqrt{x}\) равна \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\) или \(\frac{2}{3}x\sqrt{x}\).
• Первообразная от \(2x^2\sqrt{x}\) равна \(\frac{4}{7}x^{\frac{7}{2}}\) или \(\frac{4}{7}x^3\sqrt{x}\).

Ответ: \(\frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{4}{7}x^3\sqrt{x} + C\)

Задание 9.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(\sin 2x\) равна \(-\frac{1}{2}\cos 2x\).
• Первообразная от \(3\cos 3x\) равна \(\sin 3x\).

Ответ: \(-\frac{1}{2}\cos 2x + \sin 3x + C\)

Задание 10.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(4e^{-2x}\) равна \(-2e^{-2x}\).
• Первообразная от \((x - 1)^3\) равна \(\frac{1}{4}(x - 1)^4\).

Ответ: \(-2e^{-2x} + \frac{1}{4}(x - 1)^4 + C\)

Задание 11.

Пошаговое решение:

• Первообразная от \(\frac{2}{\sqrt{x+3}}\) равна \(4\sqrt{x+3}\).
• Первообразная от \(-\sin^2 2x\) равна \(-\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x\).

Ответ: \(4\sqrt{x+3} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C\)

Задание 12.

Пошаговое решение:

• Преобразуем \(2\cos^2 \frac{x}{2}\) к \(1 + \cos x\).
• Первообразная от \(1\) равна \(x\).
• Первообразная от \(\cos x\) равна \(\sin x\).

Ответ: \(x + \sin x + C\)

Задание 13.

Пошаговое решение:

• Преобразуем \(\frac{x}{1+x}\) к \(1 - \frac{1}{1+x}\).
• Первообразная от \(1\) равна \(x\).
• Первообразная от \(-\frac{1}{1+x}\) равна \(-\ln|1+x|\).

Ответ: \(x - \ln|1+x| + C\)

Задание 14.

Пошаговое решение:

• Разложим \(\frac{1}{x^2 - 5x + 6}\) на \(\frac{1}{(x-2)(x-3)}\).
• Разложим \(\frac{1}{(x-2)(x-3)}\) на \(\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}\).
• Получим \(\frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3}\).
• Первообразная равна \(-\ln|x-2| + \ln|x-3|\).

Ответ: \(-\ln|x-2| + \ln|x-3| + C\)

Задание 15.

Пошаговое решение:

• Преобразуем \(\cos x \sin 3x\) в \(\frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)\).
• Первообразная от \(\frac{1}{2}\sin 4x\) равна \(-\frac{1}{8}\cos 4x\).
• Первообразная от \(\frac{1}{2}\sin 2x\) равна \(-\frac{1}{4}\cos 2x\).

Ответ: \(-\frac{1}{8}\cos 4x - \frac{1}{4}\cos 2x + C\)

Задание 16.

Пошаговое решение:

• Разделим \(x^3\) на \(x+1\) и получим \(x^2 - x + 1 - \frac{1}{x+1}\).
• Первообразная от \(x^2\) равна \(\frac{x^3}{3}\).
• Первообразная от \(-x\) равна \(-\frac{x^2}{2}\).
• Первообразная от \(1\) равна \(x\).
• Первообразная от \(-\frac{1}{x+1}\) равна \(-\ln|x+1|\).

Ответ: \(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln|x+1| + C\)

Задание 17.

Пошаговое решение:

• Представим \(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x + 4}\) как \(\frac{2x + 5}{(x + 1)(x + 4)}\).
• Разложим на простые дроби \(\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 4}\).
• Получим \(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+4}\).
• Первообразная равна \(\ln|x+1| + \ln|x+4|\) или \(\ln|(x+1)(x+4)|\).

Ответ: \(\ln|x+1| + \ln|x+4| + C\)