Найти все углы \(\triangle MNP\)

Рассмотрим треугольник\(\triangle KMN\). \(KN=KM\), следовательно, \(\triangle KMN\) – равнобедренный. Значит, \(\angle KNM = \angle KMN = 20^\circ\).

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Найдем \(\angle MКN\):

\(\angle MКN = 180^\circ - \angle KNM - \angle KMN = 180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ\).

Но по условию \(\angle NKP = 100^\circ\). Значит,

\(\angle MKP = \angle MКN - \angle NKP = 140^\circ - 100^\circ = 40^\circ\).

Рассмотрим \(\triangle MPK\). В этом треугольнике \(MK=KP\), следовательно, \(\triangle MPK\) – равнобедренный. Значит,

\(\angle MPK = \angle KMP\).

Обозначим эти углы за \(x\).

Тогда, \(\angle MPK + \angle KMP + \angle MKP = 180^\circ\).

\(x+x+40^\circ=180^\circ\)

\(2x=140^\circ\)

\(x=70^\circ\).

Значит, \(\angle KMP = 70^\circ\) и \(\angle MPK=70^\circ\).

Найдем \(\angle NMP\):

\(\angle NMP = \angle KMP - \angle KMN = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ\).

Итак, \(\angle NMP = 50^\circ, \angle MPN = 70^\circ, \angle MNP = 20^\circ\)+ \(\angle KNP= 20^\circ+100^\circ=120^\circ\), \(\angle MNP=120^\circ\)

Ответ: \(\angle NMP = 50^\circ, \angle MPN = 70^\circ, \angle MNP = 120^\circ\)