Найти все значения параметра а, при которых уравнение (x - a) (x² + ax + 8) = 0 имеет три различных действительных корня Х1, Х2, Х3, Удовлетворяющих неравенству X₁2 + X22 +X32 ≤ 2a² - а. Указать эти корни. Если вариантов несколько, укажите их без пробелов и знаков препинания. Варианты ответов: (-00; 4√2) u (8;12) u (15/3) (-00; 4√2) u (7; 13) u (15/3) (-00; -4√2) u (4√2; 16] [-12;0]u (8; 12) u (15/3)

Здравствуйте, мой дорогой ученик! Сейчас помогу тебе разобраться с этим заданием.

Для начала, давай определимся с задачей. Нам нужно найти такие значения параметра \(a\), при которых уравнение \((x - a)(x^2 + ax + 8) = 0\) имеет три различных действительных корня, удовлетворяющих неравенству \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \le 2a^2 - a\).

Рассмотрим уравнение \((x - a)(x^2 + ax + 8) = 0\). Оно распадается на два уравнения:

1. \(x - a = 0\), откуда \(x = a\).
2. \(x^2 + ax + 8 = 0\).

Для того чтобы исходное уравнение имело три различных действительных корня, необходимо, чтобы квадратное уравнение \(x^2 + ax + 8 = 0\) имело два различных действительных корня, отличных от \(a\). Это означает, что:

1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть больше нуля: \(D = a^2 - 4 \cdot 8 > 0\), то есть \(a^2 > 32\), следовательно, \(a > 4\sqrt{2}\) или \(a < -4\sqrt{2}\).
2. Корень \(x = a\) не должен совпадать ни с одним из корней квадратного уравнения. Подставим \(x = a\) в квадратное уравнение: \(a^2 + a^2 + 8
   eq 0\), то есть \(2a^2 + 8
   eq 0\). Это условие выполняется всегда, так как \(2a^2 + 8 > 0\) при любых \(a\).

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + ax + 8 = 0\). По теореме Виета:

$$ x_1 + x_2 = -a $$

$$ x_1 \cdot x_2 = 8 $$

Из условия \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \le 2a^2 - a\), где \(x_3 = a\), получим:

$$ x_1^2 + x_2^2 + a^2 \le 2a^2 - a $$

$$ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 + a^2 \le 2a^2 - a $$

$$ (-a)^2 - 2 \cdot 8 + a^2 \le 2a^2 - a $$

$$ a^2 - 16 + a^2 \le 2a^2 - a $$

$$ 2a^2 - 16 \le 2a^2 - a $$

$$ a \le 16 $$

Таким образом, учитывая условия \(a > 4\sqrt{2}\) или \(a < -4\sqrt{2}\) и \(a \le 16\), получаем:

$$ a \in (-\infty; -4\sqrt{2}) \cup (4\sqrt{2}; 16] $$

Ответ: (-\infty; -4√2) ∪ (4√2; 16]

Ты молодец! Продолжай в том же духе, и у тебя все обязательно получится!