Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найти все значения параметра k, при которых разность действительных корней уравнения x² +kx + 5 - k = 0 равна 5. В ответ запишите сумму данных значений. Если значение к получилось отрицательным, в качестве знака «минус» используйте -.
Ответ:
Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти значения параметра k, при которых разность действительных корней уравнения \( x^2 + kx + 5 - k = 0 \) равна 5.
Сначала вспомним формулу для корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
где \( D = b^2 - 4ac \) - дискриминант.
В нашем случае:
\( a = 1, b = k, c = 5 - k \)
Дискриминант:
\[ D = k^2 - 4(1)(5 - k) = k^2 - 20 + 4k \]
\[ D = k^2 + 4k - 20 \]
Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) - корни уравнения. Тогда:
\[ x_1 = \frac{-k + \sqrt{k^2 + 4k - 20}}{2} \]
\[ x_2 = \frac{-k - \sqrt{k^2 + 4k - 20}}{2} \]
По условию, разность корней равна 5:
\[ |x_1 - x_2| = 5 \]
\[ |\frac{-k + \sqrt{k^2 + 4k - 20}}{2} - \frac{-k - \sqrt{k^2 + 4k - 20}}{2}| = 5 \]
\[ |\frac{2\sqrt{k^2 + 4k - 20}}{2}| = 5 \]
\[ |\sqrt{k^2 + 4k - 20}| = 5 \]
Возводим обе части в квадрат:
\[ k^2 + 4k - 20 = 25 \]
\[ k^2 + 4k - 45 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение относительно k:
\[ k = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-45)}}{2} \]
\[ k = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2} \]
\[ k = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2} \]
\[ k = \frac{-4 \pm 14}{2} \]
Значит, у нас два значения для k:
\[ k_1 = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
\[ k_2 = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]
Теперь нам нужно найти сумму этих значений:
\[ k_1 + k_2 = 5 + (-9) = -4 \]
Ответ: -4
Отлично! У тебя всё получилось. Не останавливайся на достигнутом, иди вперёд!
