Найти высоту H, на которой расположен фонарь, если вертикальный колышек высотой h = 1 м, поставленный вблизи уличного фонаря, отбрасывает тень длиной l1 = 0,8 м. Если перенести колышек на d = 1 м дальше от фонаря (в той же плоскости), то он отбрасывает тень длиной l2 = 1,25 м. Фонарь считать точечным источником света.

Решение:

Смотри, тут всё просто: у нас есть два случая, которые можно описать с помощью соотношений подобия треугольников.

1. Когда колышек стоит ближе к фонарю: \[ \frac{H}{h} = \frac{l_1 + x}{x} \]
2. Когда колышек отодвинули на d = 1 м: \[ \frac{H}{h} = \frac{l_2 + x + d}{x + d} \]

где:

• H — высота фонаря,
• h — высота колышка (1 м),
• l1 — длина тени в первом случае (0,8 м),
• l2 — длина тени во втором случае (1,25 м),
• x — расстояние от основания фонаря до первого положения колышка,
• d — расстояние, на которое отодвинули колышек (1 м).

Так как левые части уравнений равны, приравниваем правые части:

\[ \frac{l_1 + x}{x} = \frac{l_2 + x + d}{x + d} \]

Подставляем известные значения (h = 1 м, l1 = 0,8 м, l2 = 1,25 м, d = 1 м) и решаем уравнение относительно x:

\[ \frac{0.8 + x}{x} = \frac{1.25 + x + 1}{x + 1} \]\[ \frac{0.8 + x}{x} = \frac{2.25 + x}{x + 1} \]\[ (0.8 + x)(x + 1) = x(2.25 + x) \]\[ 0.8x + 0.8 + x^2 + x = 2.25x + x^2 \]\[ x^2 + 1.8x + 0.8 = x^2 + 2.25x \]

Упрощаем уравнение:

\[ 0.8 = 0.45x \]\[ x = \frac{0.8}{0.45} = \frac{16}{9} \] м

Теперь, когда мы нашли x, можно найти H, используя первое уравнение подобия:

\[ \frac{H}{1} = \frac{0.8 + \frac{16}{9}}{\frac{16}{9}} \]\[ H = \frac{0.8 + \frac{16}{9}}{\frac{16}{9}} = \frac{\frac{7.2 + 16}{9}}{\frac{16}{9}} = \frac{\frac{23.2}{9}}{\frac{16}{9}} \]\[ H = \frac{23.2}{16} = 1.45 \] м

Ответ: 1,45 м