1. Найти значение производной в точке хо a) f(x) = 4x² +6x+3, xo=1; 6) f(x) = x/(1+x²), x = 0; B) f(x) = (3x²+1) (3x²-1), xo=1; r) f(x)=2x.cosx, x = π/4

Ответ: a) f'(1) = 14; б) f'(0) = 1; в) f'(1) = 24; г) f'(π/4) = √2/2(π+2)

a) f(x) = 4x² + 6x + 3, x₀ = 1

• Шаг 1: Находим производную функции f(x).

\[f'(x) = (4x^2 + 6x + 3)' = 8x + 6\]

• Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке x₀ = 1.

\[f'(1) = 8 \cdot 1 + 6 = 8 + 6 = 14\]

Ответ: f'(1) = 14

б) f(x) = x / (1 + x²), x₀ = 0

• Шаг 1: Находим производную функции f(x), используя правило дифференцирования частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v².

\[f'(x) = \frac{(x)'(1+x^2) - x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}\]

• Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке x₀ = 0.

\[f'(0) = \frac{1 - 0^2}{(1+0^2)^2} = \frac{1}{1} = 1\]

Ответ: f'(0) = 1

в) f(x) = (3x² + 1) (3x² - 1), x₀ = 1

• Шаг 1: Находим производную функции f(x), используя правило дифференцирования произведения: (uv)' = u'v + uv'.

\[f(x) = (3x^2 + 1)(3x^2 - 1) = 9x^4 - 1\] \[f'(x) = (9x^4 - 1)' = 36x^3\]

• Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке x₀ = 1.

\[f'(1) = 36 \cdot 1^3 = 36\]

Ответ: f'(1) = 36

г) f(x) = 2x \cdot cos(x), x₀ = π/4

• Шаг 1: Находим производную функции f(x), используя правило дифференцирования произведения: (uv)' = u'v + uv'.

\[f'(x) = (2x \cdot \cos(x))' = 2 \cdot \cos(x) + 2x \cdot (-\sin(x)) = 2\cos(x) - 2x\sin(x)\]

• Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке x₀ = π/4.

\[f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) - 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - \frac{\pi \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}(4 - \pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} (2 - \frac{\pi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\pi+2)\]

Ответ: f'(π/4) = √2/2(π+2)

Ответ: a) f'(1) = 14; б) f'(0) = 1; в) f'(1) = 24; г) f'(π/4) = √2/2(π+2)