Найти значение выражения, предварительно его упростив: C⁴₃₈ - C³₃₇

Для решения данного выражения необходимо воспользоваться формулой для вычисления биномиальных коэффициентов и их свойств.

Биномиальный коэффициент C(n, k) (также обозначаемый как "n choose k") вычисляется по формуле:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где n! (n-факториал) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

В нашем случае у нас есть два биномиальных коэффициента:

1. $$C(38, 4) = \frac{38!}{4!(38-4)!} = \frac{38!}{4!34!}$$
2. $$C(37, 3) = \frac{37!}{3!(37-3)!} = \frac{37!}{3!34!}$$

Теперь необходимо вычислить разность между этими двумя коэффициентами:

$$C(38, 4) - C(37, 3) = \frac{38!}{4!34!} - \frac{37!}{3!34!}$$ Для упрощения вычислений, давайте выразим 38! как 38 * 37! и 4! как 4 * 3!:

$$\frac{38 \cdot 37!}{4 \cdot 3! \cdot 34!} - \frac{37!}{3!34!}$$

Теперь можно вынести общий множитель \(\frac{37!}{3!34!}\) за скобки:

$$\frac{37!}{3!34!} \left( \frac{38}{4} - 1 \right) = \frac{37!}{3!34!} \left( \frac{38}{4} - \frac{4}{4} \right) = \frac{37!}{3!34!} \cdot \frac{34}{4}$$ Теперь нужно вычислить значения факториалов, чтобы найти окончательный ответ.

$$C(37,3) = \frac{37 \cdot 36 \cdot 35}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 37 \cdot 6 \cdot 35 = 7770$$ $$\frac{34}{4} = 8.5$$

$$7770 \cdot 8.5 = 66045$$

Или упростить $$\frac{34}{4}$$ до $$\frac{17}{2}$$

$$\frac{37!}{3!34!} \cdot \frac{17}{2}$$

$$C(38, 4) - C(37, 3) = 66045$$

Ответ: 66045