Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2) Найти значение выражения 4 a) f'(-2,5), если f(x) = 3+ 2x б) f'(п/4), если f(x) = 5cos2x 3) Решите уравнение у '(х) = 0, если 9 3x+- a) y = X 4) Решите неравенство f'(x) > 0, если f(x) = (4-x).(x+3)² 5) Найти промежутки, убывания функции. f(x) = x² + 9x² - 4
Ответ:
2) Найти значение выражения
Краткое пояснение: Чтобы найти значение выражения, сначала найдем производную функции, а затем подставим значение аргумента.
a) f'(-2,5), если f(x) = \(\frac{4}{3+2x}\)
- Найдем производную функции f(x) = \(\frac{4}{3+2x}\). Используем правило дифференцирования частного: \[f'(x) = \frac{(4)'(3+2x) - 4(3+2x)'}{(3+2x)^2} = \frac{0 - 4(2)}{(3+2x)^2} = \frac{-8}{(3+2x)^2}.\]
- Подставим x = -2,5 в производную: \[f'(-2.5) = \frac{-8}{(3+2(-2.5))^2} = \frac{-8}{(3-5)^2} = \frac{-8}{(-2)^2} = \frac{-8}{4} = -2.\]
Ответ: -2
б) f'(\(π/4\)), если f(x) = 5cos2x
- Найдем производную функции f(x) = 5cos2x. Используем правило дифференцирования сложной функции: \[f'(x) = 5 \cdot (cos2x)' = 5 \cdot (-sin2x) \cdot (2x)' = -10sin2x.\]
- Подставим x = \(π/4\) в производную: \[f'(\frac{π}{4}) = -10sin(2 \cdot \frac{π}{4}) = -10sin(\frac{π}{2}) = -10 \cdot 1 = -10.\]
Ответ: -10
3) Решите уравнение y'(x) = 0, если a) y = \(3x + \frac{9}{x}\)
Краткое пояснение: Чтобы решить уравнение, сначала найдем производную функции, а затем приравняем ее к нулю и найдем корни.
- Найдем производную функции y = \(3x + \frac{9}{x}\): \[y'(x) = (3x)' + (\frac{9}{x})' = 3 - \frac{9}{x^2}.\]
- Решим уравнение y'(x) = 0: \[3 - \frac{9}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{9}{x^2} = 3 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{3} \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}.\]
Ответ: x = \(\pm \sqrt{3}\)
4) Решите неравенство f'(x) > 0, если f(x) = (4-x)(x+3)²
Краткое пояснение: Сначала находим производную, затем решаем неравенство f'(x) > 0, чтобы определить, где функция возрастает.
- Найдем производную функции f(x) = (4-x)(x+3)²: \[f'(x) = (4-x)'(x+3)^2 + (4-x)((x+3)^2)' = -1 \cdot (x+3)^2 + (4-x) \cdot 2(x+3) = (x+3)(-x-3+8-2x) = (x+3)(5-3x).\]
- Решим неравенство f'(x) > 0: \[(x+3)(5-3x) > 0.\]
- Найдем корни уравнения (x+3)(5-3x) = 0: \[x = -3, \quad x = \frac{5}{3}.\]
- Определим знаки производной на интервалах:
+ - +
----(-3)-----(5/3)----->
- f'(x) > 0 при x < -3 и -3 < x < 5/3
Ответ: x \( \in \) (-3, 5/3)
5) Найти промежутки убывания функции. f(x) = x³ + 9x² - 4
Краткое пояснение: Чтобы найти промежутки убывания функции, сначала найдем производную, а затем решим неравенство f'(x) < 0.
- Найдем производную функции f(x) = x³ + 9x² - 4: \[f'(x) = 3x^2 + 18x.\]
- Решим неравенство f'(x) < 0: \[3x^2 + 18x < 0 \Rightarrow 3x(x + 6) < 0.\]
- Найдем корни уравнения 3x(x + 6) = 0: \[x = 0, \quad x = -6.\]
- Определим знаки производной на интервалах:
+ - +
----(-6)--------(0)----->
- f'(x) < 0 при -6 < x < 0
Ответ: x \( \in \) (-6, 0)
