1. Найти значение выражения: a) sin210°; 6) cos 7π/6; 6) tg 11π/4. 2. Вычислить sina, cos2a, если cosa= -5/13 и п<α<3π/2 cosa, sin2a, если 3.Упростить выражение sin β cos a+ sin(a-β) tga 4. Доказать тождество 2 sin 2a – sin(π + a) + cos(3π/2 -a) = -2 sin a 1-sin(π/2 -a)

Задание 1

Разберемся с каждым тригонометрическим выражением по порядку:

а) sin210°

Синус 210° можно представить как синус (180° + 30°). Используя формулу приведения, получаем:

\[ sin(180° + 30°) = -sin30° = -\frac{1}{2} \]

Итак, sin210° = -1/2.

б) cos(7π/6)

Косинус (7π/6) можно представить как косинус (π + π/6). Используя формулу приведения, получаем:

\[ cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Итак, cos(7π/6) = -√3/2.

в) tg(11π/4)

Тангенс (11π/4) можно представить как тангенс (2π + 3π/4). Так как тангенс имеет период π, это равносильно тангенсу (3π/4). Тангенс (3π/4) можно представить как тангенс (π - π/4). Используя формулу приведения, получаем:

\[ tg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4}) = -1 \]

Итак, tg(11π/4) = -1.

Задание 2

Дано: cosα = -5/13, π < α < 3π/2

Сначала найдем sinα, зная, что sin²α + cos²α = 1:

\[ sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{-5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \]

Так как π < α < 3π/2, α находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Поэтому:

\[ sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \]

Теперь найдем cos2α и sin2α, используя формулы двойного угла:

\[ cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1 = 2(\frac{-5}{13})^2 - 1 = 2(\frac{25}{169}) - 1 = \frac{50}{169} - 1 = -\frac{119}{169} \] \[ sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha) = 2(-\frac{12}{13})(\frac{-5}{13}) = \frac{120}{169} \]

Итак, sinα = -12/13, cos2α = -119/169, sin2α = 120/169.

Задание 3

Упростим выражение:

\[ \frac{sin(\beta)cos(\alpha) + sin(\alpha - \beta)}{tg(\alpha)} \]

Используем формулу синуса разности:

\[ sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta) \]

Тогда выражение примет вид:

\[ \frac{sin(\beta)cos(\alpha) + sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)}{tg(\alpha)} = \frac{sin(\alpha)cos(\beta)}{tg(\alpha)} \]

Заменим tg(α) на sin(α)/cos(α):

\[ \frac{sin(\alpha)cos(\beta)}{\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}} = cos(\alpha)cos(\beta) \]

Итак, упрощенное выражение: cos(α)cos(β).

Задание 4

Докажем тождество:

\[ \frac{2sin(2\alpha) - sin(\pi + \alpha) + cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{1 - sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = -2sin(\alpha) \]

Сначала упростим числитель:

\[ sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha) \] \[ cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -sin(\alpha) \]

Тогда числитель будет:

\[ 2sin(2\alpha) + sin(\alpha) - sin(\alpha) = 2sin(2\alpha) \]

Теперь упростим знаменатель:

\[ sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha) \]

Тогда знаменатель будет:

\[ 1 - cos(\alpha) \]

Выражение примет вид:

\[ \frac{2sin(2\alpha)}{1 - cos(\alpha)} \]

Заменим sin(2α) на 2sin(α)cos(α):

\[ \frac{4sin(\alpha)cos(\alpha)}{1 - cos(\alpha)} \]

Дальше упростить не получается, так как выражение не равно -2sin(α).