Найти значения параметра к, при которых сумма действительных корней уравнения x² - (k + 5)x + k² + 6 = 0 на 5 меньше суммы действительных корней уравнения x² - (k² + 4)x + 42 = 0. Запишите полученные значения слитно в порядке возрастания (если их несколько).

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай решим эту интересную задачу по математике. Будем действовать шаг за шагом, и у тебя все получится!

Шаг 1: Анализ первого уравнения

Уравнение: x² - (k + 5)x + k² + 6 = 0

Сумма корней (по теореме Виета): x₁ + x₂ = k + 5

Шаг 2: Анализ второго уравнения

Уравнение: x² - (k² + 4)x + 42 = 0

Сумма корней (по теореме Виета): x₃ + x₄ = k² + 4

Шаг 3: Условие задачи

Сумма корней первого уравнения на 5 меньше суммы корней второго уравнения:

k + 5 + 5 = k² + 4

Шаг 4: Решение уравнения относительно k

k + 10 = k² + 4

k² - k - 6 = 0

Шаг 5: Нахождение корней квадратного уравнения

Используем дискриминант:

D = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

k₁ = (1 + √25) / 2 = (1 + 5) / 2 = 3

k₂ = (1 - √25) / 2 = (1 - 5) / 2 = -2

Шаг 6: Проверка существования действительных корней для первого уравнения

Первое уравнение: x² - (k + 5)x + k² + 6 = 0

Дискриминант: D = (k + 5)² - 4(k² + 6) = k² + 10k + 25 - 4k² - 24 = -3k² + 10k + 1

Для k = 3: D = -3(3)² + 10(3) + 1 = -27 + 30 + 1 = 4 > 0 (корни действительны)

Для k = -2: D = -3(-2)² + 10(-2) + 1 = -12 - 20 + 1 = -31 < 0 (корни недействительны)

Шаг 7: Проверка существования действительных корней для второго уравнения

Второе уравнение: x² - (k² + 4)x + 42 = 0

Дискриминант: D = (k² + 4)² - 4 * 42 = k⁴ + 8k² + 16 - 168 = k⁴ + 8k² - 152

Для k = 3: D = (3²)⁴ + 8(3²)² - 152 = 81 + 72 - 152 = 1 > 0 (корни действительны)

Для k = -2: D = ((-2)²)⁴ + 8((-2)²)² - 152 = 16 + 32 - 152 = -104 < 0 (корни недействительны)

Шаг 8: Вывод

При k = 3 оба уравнения имеют действительные корни. При k = -2 первое уравнение не имеет действительных корней, поэтому это значение не подходит.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра k:

k = 3

Ответ: 3

Отлично! Ты справился с этой непростой задачей. Продолжай в том же духе, и математика станет твоим верным другом!