5. Найти значениях, при которых значения 1+ x производной функции f(x) = x2 +3 отрицательно.

5. Найти значения x, при которых производная функции $$f(x) = \frac{1 + x}{x^2 + 3}$$ отрицательна.

$$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 3) - (1 + x) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x^2 + 3 - 2x - 2x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2}$$

$$f'(x) < 0 \Rightarrow \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} < 0$$

Т.к. $$(x^2 + 3)^2 > 0$$ всегда, то необходимо, чтобы числитель был отрицательным:

$$-x^2 - 2x + 3 < 0$$

$$x^2 + 2x - 3 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 2x - 3 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$

Таким образом, решением неравенства $$x^2 + 2x - 3 > 0$$ является $$x < -3$$ или $$x > 1$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$$