Найтит экстремума у графи 2 3 2 y = x² + 5 x² + 7x -5

Привет! Давай вместе найдем экстремумы функции, заданной графиком. Чтобы найти экстремумы функции, нам нужно выполнить несколько шагов: 1. Найти производную функции: Дана функция \( y = x^3 + 5x^2 + 7x - 5 \). Найдем ее производную: \[ y' = 3x^2 + 10x + 7 \] 2. Приравнять производную к нулю и решить уравнение: Теперь нам нужно найти значения \( x \), при которых производная равна нулю: \[ 3x^2 + 10x + 7 = 0 \] Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16 \] Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 - 4}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \] Итак, мы нашли две точки, где производная равна нулю: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -\frac{7}{3} \). 3. Определить знаки производной на интервалах: Нам нужно определить, как меняется знак производной на интервалах между этими точками. Для этого возьмем значения из каждого интервала и подставим их в производную: * Интервал \( (-\infty, -\frac{7}{3}) \). Возьмем \( x = -3 \): \[ y'(-3) = 3(-3)^2 + 10(-3) + 7 = 27 - 30 + 7 = 4 > 0 \] (Функция возрастает) * Интервал \( (-\frac{7}{3}, -1) \). Возьмем \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 + 10(-2) + 7 = 12 - 20 + 7 = -1 < 0 \] (Функция убывает) * Интервал \( (-1, +\infty) \). Возьмем \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3(0)^2 + 10(0) + 7 = 7 > 0 \] (Функция возрастает) 4. Определить точки экстремума: * В точке \( x = -\frac{7}{3} \) функция меняет возрастание на убывание, значит, это точка максимума. * В точке \( x = -1 \) функция меняет убывание на возрастание, значит, это точка минимума. 5. Найти значения функции в точках экстремума: Чтобы найти значения функции в этих точках, подставим \( x_1 \) и \( x_2 \) в исходную функцию: \[ y(-\frac{7}{3}) = (-\frac{7}{3})^3 + 5(-\frac{7}{3})^2 + 7(-\frac{7}{3}) - 5 \] \[ y(-\frac{7}{3}) = -\frac{343}{27} + 5 \cdot \frac{49}{9} - \frac{49}{3} - 5 \] \[ y(-\frac{7}{3}) = -\frac{343}{27} + \frac{245}{9} - \frac{49}{3} - 5 \] \[ y(-\frac{7}{3}) = -\frac{343}{27} + \frac{735}{27} - \frac{441}{27} - \frac{135}{27} = \frac{-343 + 735 - 441 - 135}{27} = \frac{-184}{27} \] \[ y(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) - 5 \] \[ y(-1) = -1 + 5 - 7 - 5 = -8 \] Ответ: *Точка максимума:* \( x = -\frac{7}{3} \), \( y = -\frac{184}{27} \) *Точка минимума:* \( x = -1 \), \( y = -8 \)

Ответ: Точки экстремума найдены.

Отлично! Ты справился с задачей нахождения экстремумов функции. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!