Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ № 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) х² - 14х + 45; 6) 3y² + 7y - 6. OTBET: a) (x - 5) (x – 9); 6) (3y - 2) (y + 3). № 2. Решите уравнение: а) х² / (x + 3) = (5x-6) / (x + 3); 6) (x² + 9x + 18)/(x² - 36) = 5/ (x - 6). OTBET: a) 2; 3; 6) 2. № 3. Не выполняя построения, найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у = 5/х и у = х + 4. ОТВЕТ: -5; 1. № 4. Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч. ОТВЕТ: 11 км/ч.

№ 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

a) $$x^2 - 14x + 45$$

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нужно решить квадратное уравнение $$x^2 - 14x + 45 = 0$$.

По теореме Виета:

$$\begin{cases} x_1 + x_2 = 14 \ x_1 \cdot x_2 = 45 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_1 = 5 \ x_2 = 9 \end{cases}$$

Квадратный трехчлен раскладывается на множители по формуле $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$.

В нашем случае:

$$x^2 - 14x + 45 = (x - 5)(x - 9)$$.

б) $$3y^2 + 7y - 6$$

Приравняем к нулю и решим квадратное уравнение: $$3y^2 + 7y - 6 = 0$$

$$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$$

$$y_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$y_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$$

Тогда:

$$3y^2 + 7y - 6 = 3(y - \frac{2}{3})(y + 3) = (3y - 2)(y + 3)$$.

Ответ: a) $$(x - 5)(x - 9)$$; б) $$(3y - 2)(y + 3)$$.

№ 2. Решите уравнение:

a) $$\frac{x^2}{x + 3} = \frac{5x - 6}{x + 3}$$

ОДЗ: $$x
e -3$$.

$$\frac{x^2}{x + 3} - \frac{5x - 6}{x + 3} = 0$$ $$\frac{x^2 - 5x + 6}{x + 3} = 0$$ $$x^2 - 5x + 6 = 0$$.

По теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_1 = 2 \ x_2 = 3 \end{cases}$$

Так как оба корня удовлетворяют ОДЗ, то это корни уравнения.

б) $$\frac{x^2 + 9x + 18}{x^2 - 36} = \frac{5}{x - 6}$$

ОДЗ: $$x
e \pm 6$$.

Разложим на множители:

$$\frac{x^2 + 9x + 18}{x^2 - 36} = \frac{5}{x - 6}$$ $$\frac{x^2 + 9x + 18}{(x - 6)(x + 6)} - \frac{5}{x - 6} = 0$$ $$\frac{x^2 + 9x + 18 - 5(x + 6)}{(x - 6)(x + 6)} = 0$$ $$\frac{x^2 + 9x + 18 - 5x - 30}{(x - 6)(x + 6)} = 0$$ $$\frac{x^2 + 4x - 12}{(x - 6)(x + 6)} = 0$$ $$x^2 + 4x - 12 = 0$$

По теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \ x_1 \cdot x_2 = -12 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_1 = 2 \ x_2 = -6 \end{cases}$$

x = -6 не удовлетворяет ОДЗ, значит, корень только x = 2.

Ответ: a) $$x = 2; x = 3$$; б) $$x = 2$$.

№ 3. Не выполняя построения, найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $$y = \frac{5}{x}$$ и $$y = x + 4$$.

Чтобы найти абсциссы точек пересечения, нужно решить уравнение: $$\frac{5}{x} = x + 4$$

ОДЗ: $$x
e 0$$.

$$\frac{5}{x} - x - 4 = 0$$ $$\frac{5 - x^2 - 4x}{x} = 0$$ $$5 - x^2 - 4x = 0$$ $$x^2 + 4x - 5 = 0$$

По теореме Виета: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \ x_1 \cdot x_2 = -5 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_1 = 1 \ x_2 = -5 \end{cases}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$x = -5; x = 1$$.

№ 4. Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Пусть $$v$$ км/ч - собственная скорость лодки, тогда:

$$\frac{120}{v - 1}$$ ч - время, затраченное на путь против течения.

$$\frac{120}{v + 1}$$ ч - время, затраченное на путь по течению.

$$\frac{120}{v - 1} - \frac{120}{v + 1} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $$\frac{1}{2}$$:

$$\frac{60}{v - 1} - \frac{60}{v + 1} = 1$$ $$\frac{60(v + 1) - 60(v - 1)}{(v - 1)(v + 1)} = 1$$ $$\frac{60v + 60 - 60v + 60}{v^2 - 1} = 1$$ $$v^2 - 1 = 120$$ $$v^2 = 121$$ $$v = \pm 11$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 11$$ км/ч.

Ответ: 11 км/ч.