Фразеологизм «спустя рукава» означает делать что-то небрежно, кое-как, без старания. Антоним к этому выражению означает действовать с усердием, старанием.
Рассмотрим предложенные варианты:
Наиболее точным антонимом к «спустя рукава» является вариант «не покладая рук».
Ответ: е. не покладая рук,