Ответ:

  1. В начале пятидесятых годов в Новгороде учёные нашли берестяные грамоты, написанные без единой капли чернил.
    «В Новгороде» — окончание существительного в предложном падеже; «берестяные» — гласная в суффиксе прилагательного; «написанные» — НН в полном страдательном причастии. Запятая отделяет причастный оборот, стоящий после определяемого слова.
  2. Буквы на берёсте процарапаны тщательно заострённым писалом.
    В слове «процарапаны» пишется проверяемая безударная гласная корня: цара́пать — процара́паны.
  3. Новгородцы в древности буквально ногами ходили по грамотам, брошенным на землю.
    В существительном «древность» на конце основы перед суффиксом пишется Ь; «брошенным» — НН в полном страдательном причастии.
  4. От брошенного в грязь современного бумажного письма уже спустя небольшое время не останется даже следа, а процарапанное берестяное письмо в благоприятных условиях даже в грязи пролежит многие столетия.
    «Современный» — НН в прилагательном; «небольшое» пишется слитно, так как слово можно заменить близким по смыслу («короткое»); с глаголом «не останется» частица НЕ пишется раздельно, окончание — -тся; «процарапанное» — НН в полном страдательном причастии; «берестяное» — суффикс -ян-; «благоприятных» — словарное написание.