N1. B C 2 te 4 A D M = ?

Для решения задачи необходимо найти радиус окружности, вписанной в угол \( \angle ADC \). Обозначим точку касания окружности со стороной \( CD \) как \( K \).

Из рисунка видно, что \( CK = 2 \) и \( KD = 4 \). Тогда радиус окружности \( r \) можно найти, используя свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности.

Так как \( BC \) касается окружности в точке, обозначенной на рисунке, и \( BC \) параллельна \( AD \) (поскольку \( ABCD \) - прямоугольная трапеция), а также \( AB \) перпендикулярна \( AD \), то \( AB \) также является высотой трапеции.

1. Рассмотрим прямоугольную трапецию \( ABCD \). Опустим высоту из точки \( C \) на сторону \( AD \). Обозначим точку пересечения высоты и \( AD \) как \( E \). Тогда \( AED \) - прямоугольный треугольник, где \( AE = AD - BC \).

2. По условию, \( BC = 2r \), так как окружность вписана в угол \( ABC \), и \( AB = 2r \), так как \( ABCD \) - прямоугольная трапеция, и окружность касается сторон \( AB \) и \( BC \).

3. Также, \( AD = AE + ED \), где \( ED = BC = 2r \). Следовательно, \( AD = AE + 2r \).

4. Рассмотрим треугольник \( CED \). В этом треугольнике \( CE = AB = 2r \), а \( CD = CK + KD = 2 + 4 = 6 \).

5. По теореме Пифагора для треугольника \( CED \):
$$ CE^2 + ED^2 = CD^2 $$
$$ (2r)^2 + ED^2 = 6^2 $$
$$ 4r^2 + ED^2 = 36 $$

6. Заметим, что \( KD \) - это отрезок касательной, проведенной из точки \( D \) к окружности, и \( r \) - радиус окружности, проведенный в точку касания \( K \). Тогда \( ED = KD = 4 \) (свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности).

7. Подставим \( ED = 4 \) в уравнение из пункта 5:
$$ 4r^2 + 4^2 = 36 $$
$$ 4r^2 + 16 = 36 $$
$$ 4r^2 = 36 - 16 $$
$$ 4r^2 = 20 $$
$$ r^2 = 5 $$
$$ r = \sqrt{5} $$

8. Тогда диаметр окружности \( d = 2r = 2\sqrt{5} \).

Ответ: \( r = \sqrt{5} \)