N 336 Докажите, что хорда, не проходящая через центр окруж- ности, меньше диаметра. 337 Докажите, что если две хорды АВ И АС окружности равны, то ни одна из них не является диаметром этой окружности.

Задача 336

Доказательство:

• Рассмотрим хорду AB, не проходящую через центр O окружности.
• Соединим точки A и B с центром O. Получим треугольник AOB.
• В треугольнике AOB, сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

\[AO + OB > AB\]

• Так как AO и OB являются радиусами окружности, то AO = OB = R (радиус).
• Следовательно, \[2R > AB\]
• Диаметр окружности равен 2R.
• Таким образом, хорда AB меньше диаметра.

Что и требовалось доказать.

Задача 337

Доказательство:

• Дано: Две хорды AB и AC окружности равны: AB = AC.
• Предположим, что одна из хорд, например AB, является диаметром.
• Тогда, так как AB диаметр, то AB = 2R (где R - радиус окружности).
• Если AB = AC, то и AC = 2R, то есть AC тоже является диаметром.
• В таком случае, точки B и C должны совпадать, так как через точку A можно провести только один диаметр.
• Но если точки B и C совпадают, то AB и AC - это одна и та же хорда, а не две разные.
• Таким образом, наше предположение неверно.
• Следовательно, ни одна из хорд AB и AC не может быть диаметром этой окружности.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Задача 336 и 337 успешно доказаны.