не 3. Упростить выражение: 9^{\(\log\)_9 2 + \(\log\)_9 \(\frac{1}{25}\)} + 2^{\(\log\)_2 7} \(\cdot\) \(\log\)_9 \(\sqrt[3]{81}\) \(\begin{pmatrix}\) b^{\(\frac{\log_{100} a}{\lg a}\)} \(\cdot\) a^{\(\frac{\log_{100} b}{\lg b}\)} \(\end{pmatrix}\)^{2 \(\log\)_{ab}(a+b)}

Решение:

Для упрощения выражения будем преобразовывать каждую его часть отдельно.

Часть 1: \( 9^{\log_9 2 + \log_9 \frac{1}{25}} + 2^{\log_2 7} \cdot \log_9 \sqrt[3]{81} \)

1. Упростим первый член: \( 9^{\log_9 2 + \log_9 \frac{1}{25}} \)


• Используем свойство логарифма \( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \): \( \log_9 2 + \log_9 \frac{1}{25} = \log_9 \left( 2 \cdot \frac{1}{25} \right) = \log_9 \frac{2}{25} \)
• Тогда первый член равен: \( 9^{\log_9 \frac{2}{25}} \)
• Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \): \( 9^{\log_9 \frac{2}{25}} = \frac{2}{25} \)
2. Упростим второй член: \( 2^{\log_2 7} \cdot \log_9 \sqrt[3]{81} \)


• Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \): \( 2^{\log_2 7} = 7 \)
• Упростим \( \log_9 \sqrt[3]{81} \):
• \( \sqrt[3]{81} = 81^{\frac{1}{3}} = (3^4)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} \)
• \( \log_9 3^{\frac{4}{3}} = \log_{3^2} 3^{\frac{4}{3}} \)
• Используем свойство \( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \): \( \frac{\frac{4}{3}}{2} \log_3 3 = \frac{4}{6} \cdot 1 = \frac{2}{3} \)
• Тогда второй член равен: \( 7 \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \)
3. Сложим упрощенные члены: \( \frac{2}{25} + \frac{14}{3} \)
• Приведём к общему знаменателю 75: \( \frac{2 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{14 \cdot 25}{3 \cdot 25} = \frac{6}{75} + \frac{350}{75} = \frac{356}{75} \)

Часть 2: \(\left( b^{\frac{\log_{100} a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{\log_{100} b}{\lg b}}\right)^{2 \log_{ab}(a+b)}\)

1. Упростим выражение внутри скобок: \( b^{\frac{\log_{100} a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{\log_{100} b}{\lg b}} \)


• Используем формулу смены основания логарифма \( \log_c d = \frac{\log_e d}{\log_e c} \) или \( \lg a = \log_{10} a \).
• \( \frac{\log_{100} a}{\lg a} = \frac{\log_{10^2} a}{\log_{10} a} = \frac{\frac{1}{2} \log_{10} a}{\log_{10} a} = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{\log_{100} b}{\lg b} = \frac{\log_{10^2} b}{\log_{10} b} = \frac{\frac{1}{2} \log_{10} b}{\log_{10} b} = \frac{1}{2} \)
• Тогда выражение в скобках равно: \( b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{ab} \)
2. Теперь возведём полученное в степень \( 2 \log_{ab}(a+b) \): \( (\sqrt{ab})^{2 \log_{ab}(a+b)} \)


• \( (\sqrt{ab})^{2 \log_{ab}(a+b)} = (ab)^{\frac{1}{2} \cdot 2 \log_{ab}(a+b)} = (ab)^{\log_{ab}(a+b)} \)
• Используем основное логарифмическое тождество \( c^{\log_c d} = d \): \( (ab)^{\log_{ab}(a+b)} = a+b \)

Объединим результаты

Поскольку первая часть выражения равна \( \frac{356}{75} \) и не зависит от второй части, и вторая часть упростилась до \( a+b \), но нет знака между ними, предполагается, что задача состоит из двух независимых выражений для упрощения.

Ответ:
Часть 1: \( \frac{356}{75} \)
Часть 2: \( a+b \)