(Не) чего беспокоиться, (ни) чего не выяснить, (не) кому поручить, (не) чем заменить, не пренебрега (ни) чьими интересами, не отвергать (ни) чьих советов, (ни) кому не рассказывать.

Решение:

• Нечего — слитно, так как это отрицательное местоимение, которое без «не» не употребляется.
• Ничего — слитно, так как это отрицательное местоимение, которое без «ни» не употребляется.
• Никому — слитно, так как это отрицательное местоимение, которое без «ни» не употребляется.
• Ничем — слитно, так как это отрицательное местоимение, которое без «ни» не употребляется.
• Не пренебрегать — раздельно, так как это глагол, и есть противопоставление с союзом «но» (хотя и не выражен явно).
• Ничьими — слитно, так как это притяжательное местоимение, которое без «ни» не употребляется.
• Не отвергать — раздельно, так как это глагол, и есть противопоставление с союзом «но» (хотя и не выражен явно).
• Ничьих — слитно, так как это притяжательное местоимение, которое без «ни» не употребляется.
• Никому — слитно, так как это отрицательное местоимение, которое без «ни» не употребляется.

Ответ: Нечего беспокоиться, ничего не выяснить, никому поручить, ничем заменить, не пренебрегать ничьими интересами, не отвергать ничьих советов, никому не рассказывать.