268. Не решая уравнения, определите знаки его корней. a) x² – 7x + 12 = 0; б) x² + 7x + 12 = 0; в) х² + 5x – 14 = 0; г) х² – 5х – 14 = 0; д) х² + 1,27x – 1,46 = 0; e) x² - \frac{3}{5}x – 0,5 = 0; ж) х² – 56х + 768 = 0; з) x² - 20x – 684 = 0; и) х² = -377x – 31 242; к) х² + 272x = 49 104.

Чтобы определить знаки корней квадратного уравнения, не решая его, можно использовать теорему Виета. Для квадратного уравнения вида $$x^2 + px + q = 0$$:

Сумма корней равна -p, а произведение корней равно q.

Знак произведения корней определяет, имеют ли корни одинаковые знаки (q > 0) или разные (q < 0).

Знак суммы корней определяет, какой знак имеют корни, если их знаки одинаковы.

1. a) $$x^2 - 7x + 12 = 0$$

   p = -7, q = 12

   Т.к. q > 0, корни имеют одинаковые знаки.

   Т.к. сумма корней $$x_1+x_2=7$$ (т.е. > 0), оба корня положительные.

2. б) $$x^2 + 7x + 12 = 0$$

   p = 7, q = 12

   Т.к. q > 0, корни имеют одинаковые знаки.

   Т.к. сумма корней $$x_1+x_2=-7$$ (т.е. < 0), оба корня отрицательные.

3. в) $$x^2 + 5x - 14 = 0$$

   p = 5, q = -14

   Т.к. q < 0, корни имеют разные знаки.

4. г) $$x^2 - 5x - 14 = 0$$

   p = -5, q = -14

   Т.к. q < 0, корни имеют разные знаки.

5. д) $$x^2 + 1.27x - 1.46 = 0$$

   p = 1.27, q = -1.46

   Т.к. q < 0, корни имеют разные знаки.

6. e) $$x^2 - \frac{3}{5}x - 0.5 = 0$$

   $$p = -\frac{3}{5}$$, q = -0.5

   Т.к. q < 0, корни имеют разные знаки.

7. ж) $$x^2 - 56x + 768 = 0$$

   p = -56, q = 768

   Т.к. q > 0, корни имеют одинаковые знаки.

   Т.к. сумма корней $$x_1+x_2=56$$ (т.е. > 0), оба корня положительные.

8. з) $$x^2 - 20x - 684 = 0$$

   p = -20, q = -684

   Т.к. q < 0, корни имеют разные знаки.

9. и) $$x^2 + 377x + 31242 = 0$$

   p = 377, q = 31242

   Т.к. q > 0, корни имеют одинаковые знаки.

   Т.к. сумма корней $$x_1+x_2=-377$$ (т.е. < 0), оба корня отрицательные.

10. к) $$x^2 + 272x - 49104 = 0$$

    p = 272, q = -49104

    Т.к. q < 0, корни имеют разные знаки.

Ответ: а) оба положительные, б) оба отрицательные, в) разные знаки, г) разные знаки, д) разные знаки, е) разные знаки, ж) оба положительные, з) разные знаки, и) оба отрицательные, к) разные знаки