268. Не решая уравнения, определите знаки его корней. а) x² - 7x + 12 = 0; б) х² + 7x + 12 = 0; в) х² + 5x - 14 = 0; г) х² - 5х – 14 = 0; д) х² + 1,27x – 1,46 = 0; e) x² - \frac{3}{5}x – 0,5 = 0; ж) х² – 56х + 768 = 0; з) x² - 20x – 684 = 0; и) х² = -377x – 31 242; к) х² + 272x = 49 104.

Определим знаки корней квадратного уравнения, не решая его. Общий вид квадратного уравнения: $$ax^2 + bx + c = 0$$. По теореме Виета, если корни $$x_1$$ и $$x_2$$ существуют, то их сумма равна $$-\frac{b}{a}$$, а произведение равно $$\frac{c}{a}$$. Определим знаки корней в зависимости от знаков коэффициентов b и c.

• Если $$c > 0$$, то корни имеют одинаковые знаки (либо оба положительные, либо оба отрицательные). Знак суммы корней $$-\frac{b}{a}$$ определит, какие это знаки.
• Если $$c < 0$$, то корни имеют разные знаки. Знак суммы корней $$-\frac{b}{a}$$ определит, какой из корней больше по абсолютной величине.

1. а) $$x^2 - 7x + 12 = 0$$. Здесь $$c = 12 > 0$$, значит, корни имеют одинаковые знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7 > 0$$, значит, оба корня положительные.
2. б) $$x^2 + 7x + 12 = 0$$. Здесь $$c = 12 > 0$$, значит, корни имеют одинаковые знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{7}{1} = -7 < 0$$, значит, оба корня отрицательные.
3. в) $$x^2 + 5x - 14 = 0$$. Здесь $$c = -14 < 0$$, значит, корни имеют разные знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{5}{1} = -5 < 0$$, значит, отрицательный корень больше по абсолютной величине, чем положительный.
4. г) $$x^2 - 5x - 14 = 0$$. Здесь $$c = -14 < 0$$, значит, корни имеют разные знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5 > 0$$, значит, положительный корень больше по абсолютной величине, чем отрицательный.
5. д) $$x^2 + 1.27x - 1.46 = 0$$. Здесь $$c = -1.46 < 0$$, значит, корни имеют разные знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{1.27}{1} = -1.27 < 0$$, значит, отрицательный корень больше по абсолютной величине, чем положительный.
6. е) $$x^2 - \frac{3}{5}x - 0.5 = 0$$. Здесь $$c = -0.5 < 0$$, значит, корни имеют разные знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{-\frac{3}{5}}{1} = \frac{3}{5} > 0$$, значит, положительный корень больше по абсолютной величине, чем отрицательный.
7. ж) $$x^2 - 56x + 768 = 0$$. Здесь $$c = 768 > 0$$, значит, корни имеют одинаковые знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{-56}{1} = 56 > 0$$, значит, оба корня положительные.
8. з) $$x^2 - 20x - 684 = 0$$. Здесь $$c = -684 < 0$$, значит, корни имеют разные знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{-20}{1} = 20 > 0$$, значит, положительный корень больше по абсолютной величине, чем отрицательный.
9. и) $$x^2 = -377x - 31242$$. Преобразуем: $$x^2 + 377x + 31242 = 0$$. Здесь $$c = 31242 > 0$$, значит, корни имеют одинаковые знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{377}{1} = -377 < 0$$, значит, оба корня отрицательные.
10. к) $$x^2 + 272x = 49104$$. Преобразуем: $$x^2 + 272x - 49104 = 0$$. Здесь $$c = -49104 < 0$$, значит, корни имеют разные знаки. $$-\frac{b}{a} = -\frac{272}{1} = -272 < 0$$, значит, отрицательный корень больше по абсолютной величине, чем положительный.

Ответ: а) оба корня положительные, б) оба корня отрицательные, в) корни разных знаков, отрицательный корень больше по абсолютной величине, чем положительный, г) корни разных знаков, положительный корень больше по абсолютной величине, чем отрицательный, д) корни разных знаков, отрицательный корень больше по абсолютной величине, чем положительный, е) корни разных знаков, положительный корень больше по абсолютной величине, чем отрицательный, ж) оба корня положительные, з) корни разных знаков, положительный корень больше по абсолютной величине, чем отрицательный, и) оба корня отрицательные, к) корни разных знаков, отрицательный корень больше по абсолютной величине, чем положительный.