Не решая уравнения \( x^2 - 2x - 5 = 0 \), найти \( x_1^2 + x_2^2 \).

Решение:

Для уравнения \( x^2 - 2x - 5 = 0 \) по теореме Виета имеем:

\( x_1 + x_2 = -(-2)/1 = 2 \)

\( x_1 \cdot x_2 = -5/1 = -5 \)

Нам нужно найти \( x_1^2 + x_2^2 \). Воспользуемся формулой квадрата суммы:

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \)

Отсюда выразим \( x_1^2 + x_2^2 \):

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)

Подставим известные значения:

\( x_1^2 + x_2^2 = (2)^2 - 2(-5) \)

\( x_1^2 + x_2^2 = 4 + 10 \)

\( x_1^2 + x_2^2 = 14 \)

Ответ: \( 14 \).