394. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения: 2 2 а) окружности х² + y² = 36 и параболы у = x² + 6; 2 2 2 б) окружностей х² + y² = 16 и (х – 2)² + y² = 36; x 2 - в) окружности х² + y² = 25 и прямой 4х 2 y = 0. 395. Окружность (х – 4)2 + (y – 6)² = 25 и прямая y = kx имеют об- щую точку М(1; 2). Найдите координаты другой общей точки, если такая точка существует.

Решаю задачу по геометрии.

394.

a) Даны окружность $$x^2 + y^2 = 36$$ и парабола $$y = x^2 + 6$$. Нужно найти координаты точек пересечения.

Выразим $$x^2$$ из уравнения параболы: $$x^2 = y - 6$$. Подставим это выражение в уравнение окружности:

$$y - 6 + y^2 = 36$$ $$y^2 + y - 42 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y$$.

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$ $$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Так как $$x^2 = y - 6$$, то $$y$$ не может быть меньше 6, следовательно, $$y = 6$$.

$$x^2 = 6 - 6 = 0$$ $$x = 0$$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (0; 6).

Ответ: (0; 6)

---

б) Даны окружности $$x^2 + y^2 = 16$$ и $$(x - 2)^2 + y^2 = 36$$. Нужно найти координаты точек пересечения.

Выразим $$y^2$$ из первого уравнения: $$y^2 = 16 - x^2$$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(x - 2)^2 + 16 - x^2 = 36$$ $$x^2 - 4x + 4 + 16 - x^2 = 36$$ $$-4x + 20 = 36$$ $$-4x = 16$$ $$x = -4$$

Теперь найдем $$y$$.

$$y^2 = 16 - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$$ $$y = 0$$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (-4; 0).

Ответ: (-4; 0)

---

в) Даны окружность $$x^2 + y^2 = 25$$ и прямая $$4x - y = 0$$. Нужно найти координаты точек пересечения.

Выразим $$y$$ из уравнения прямой: $$y = 4x$$. Подставим это выражение в уравнение окружности:

$$x^2 + (4x)^2 = 25$$ $$x^2 + 16x^2 = 25$$ $$17x^2 = 25$$ $$x^2 = \frac{25}{17}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{25}{17}} = \pm \frac{5}{\sqrt{17}} = \pm \frac{5\sqrt{17}}{17}$$

Теперь найдем соответствующие значения $$y$$.

$$y = 4x = \pm 4 \cdot \frac{5\sqrt{17}}{17} = \pm \frac{20\sqrt{17}}{17}$$

Таким образом, есть две точки пересечения: $$\left(\frac{5\sqrt{17}}{17}; \frac{20\sqrt{17}}{17}\right)$$ и $$\left(-\frac{5\sqrt{17}}{17}; -\frac{20\sqrt{17}}{17}\right)$$.

Ответ: $$\left(\frac{5\sqrt{17}}{17}; \frac{20\sqrt{17}}{17}\right)$$, $$\left(-\frac{5\sqrt{17}}{17}; -\frac{20\sqrt{17}}{17}\right)$$

---

395.

Дана окружность $$(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$$ и прямая $$y = kx$$, которые имеют общую точку $$M(1; 2)$$. Найдем значение $$k$$:

$$2 = k \cdot 1$$ $$k = 2$$

Таким образом, уравнение прямой: $$y = 2x$$.

Подставим это выражение в уравнение окружности:

$$(x - 4)^2 + (2x - 6)^2 = 25$$ $$x^2 - 8x + 16 + 4x^2 - 24x + 36 = 25$$ $$5x^2 - 32x + 52 = 25$$ $$5x^2 - 32x + 27 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$x$$.

$$D = (-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 27 = 1024 - 540 = 484$$ $$x_1 = \frac{32 + \sqrt{484}}{10} = \frac{32 + 22}{10} = \frac{54}{10} = 5.4$$ $$x_2 = \frac{32 - \sqrt{484}}{10} = \frac{32 - 22}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Так как одна точка с $$x = 1$$, то другая точка $$x = 5.4$$.

Найдем соответствующее значение $$y$$:

$$y = 2 \cdot 5.4 = 10.8$$

Таким образом, другая точка пересечения имеет координаты (5.4; 10.8).

Ответ: (5.4; 10.8)