Небольшой мячик бросают под острым углом а к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой Н = (v_0^2)/(4g) * (1-cos 2a), где v_0 = 20 м/с - начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с^2). При каком наименьшем значении угла а (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Решение:

Для того чтобы мячик пролетел над стеной, его максимальная высота полета должна быть больше или равна высоте стены. Однако, здесь речь идет о том, пролетит ли мячик над стеной, находящейся на некотором расстоянии от точки броска. Для этого нужно учесть траекторию полета мячика.

Уравнение траектории полета мячика:

\[ y = x \tan \alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} \]

Где:

• \( y \) — высота полета (м)
• \( x \) — расстояние от точки броска (м)
• \( \alpha \) — угол броска
• \( g = 10 \text{ м/с}^2 \)
• \( v_0 = 20 \text{ м/с} \)

Условие: мячик должен пролететь над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м. Следовательно, при \( x = 1 \) м, \( y \) должно быть больше 4 м.

Подставим известные значения в уравнение траектории:

\[ y = 1 \cdot \tan \alpha - \frac{10 \cdot 1^2}{2 \cdot 20^2 \cos^2 \alpha} \]

Для упрощения используем \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha \). Обозначим \( t = \tan \alpha \).

\[ y = t - \frac{10}{800} (1 + t^2) \]

\( y = t - \frac{1}{80} (1 + t^2) \)

Нам нужно, чтобы \( y > 4 \) при \( x = 1 \).

\[ t - \frac{1}{80} (1 + t^2) > 4 \]

Умножим на 80:

\[ 80t - (1 + t^2) > 320 \]

\( 80t - 1 - t^2 > 320 \)

\[ -t^2 + 80t - 321 > 0 \]

\( t^2 - 80t + 321 < 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 - 80t + 321 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 321 = 6400 - 1284 = 5116 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{5116} \approx 71.526 \).

Корни:

\( t_1 = \frac{80 - \sqrt{5116}}{2} \approx \frac{80 - 71.526}{2} \approx \frac{8.474}{2} \approx 4.237 \)

\( t_2 = \frac{80 + \sqrt{5116}}{2} \approx \frac{80 + 71.526}{2} \approx \frac{151.526}{2} \approx 75.763 \)

Неравенство \( t^2 - 80t + 321 < 0 \) выполняется при \( 4.237 < t < 75.763 \).

Так как \( t = \tan \alpha \), то \( \tan \alpha > 4.237 \).

Найдем наименьшее значение угла \( \alpha \) в градусах.

\( \alpha = \arctan(t) \)

\( \alpha_{min} = \arctan(4.237) \approx 76.73^{\circ} \)

Далее, проверим максимальную высоту полета, данную в условии. Формула \( H = \frac{v_0^2}{4g} (1 - \cos 2a) \) — это максимальная высота подъема, а не высота в определенной точке.

Если условие задачи состоит в том, чтобы мячик пролетел над стеной, то высота в точке \( x=1 \) должна быть больше 4 м.

Угол \( \alpha \) должен быть в интервале \( (76.73^{\circ}, 90^{\circ}) \) для того, чтобы \( \tan \alpha > 4.237 \).

Нас спрашивают про наименьшее значение угла \( \alpha \).

Наименьшее значение \( \tan \alpha \) больше 4.237. Наименьший угол \( \alpha \) будет соответствовать наименьшему \( \tan \alpha \).

\( \tan \alpha_{min} \approx 4.237 \).

\( \alpha_{min} = \arctan(4.237) \approx 76.73^{\circ} \).

Округлим до ближайшего целого, если не указано иное.

Проверим, что при \( \alpha = 76.73^{\circ} \), \( y > 4 \).

\( t = \tan(76.73^{\circ}) \approx 4.237 \)

\( y = 4.237 - \frac{1}{80}(1 + 4.237^2) \approx 4.237 - \frac{1}{80}(1 + 17.95) \approx 4.237 - \frac{18.95}{80} \approx 4.237 - 0.237 = 4 \)

Это значит, что при \( \alpha = 76.73^{\circ} \), мячик достигнет высоты ровно 4м на расстоянии 1м. Чтобы пролететь НАД стеной, высота должна быть строго больше 4м.

Следовательно, \( \tan \alpha \) должно быть немного больше 4.237.

Наименьшее значение угла \( \alpha \) будет чуть больше \( 76.73^{\circ} \).

Учитывая, что угол \( \alpha \) должен быть острым (бросают под острым углом), \( 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} \).

Наименьшее значение угла \( \alpha \) (в градусах), при котором мячик пролетит над стеной, будет чуть больше \( 76.73^{\circ} \).

Если округлить до целых градусов, то ближайшее большее целое значение — 77 градусов.

Ответ просит наименьшее значение. Если бы мы округлили до 76 градусов, то \( y \) было бы меньше 4.

Проверим \( \alpha = 77^{\circ} \):

\( t = \tan(77^{\circ}) \approx 4.331 \)

\( y = 4.331 - \frac{1}{80}(1 + 4.331^2) \approx 4.331 - \frac{1}{80}(1 + 18.758) \approx 4.331 - \frac{19.758}{80} \approx 4.331 - 0.247 = 4.084 \).

\( 4.084 > 4 \), значит, при 77 градусах мячик пролетит над стеной.

Наименьшее значение угла, которое гарантирует пролет над стеной, должно быть чуть больше \( 76.73^{\circ} \).

Округляя до целых градусов, наименьшее значение будет 77.

Ответ: 77.