Небольшой шарик массой 0,1 кг на нити вращается в горизонтальной плоскости (рис. 1), совершая перемещение, равное радиусу траектории R = 20 см, за 1 с. Определите период вращения, угловую скорость шарика и модуль изменения его импульса за 3 с.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перевод единиц измерения.
   Переведем радиус траектории из сантиметров в метры: \( R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м} \).
   Масса шарика: \( m = 0.1 \text{ кг} \).
2. Шаг 2: Определение скорости.
   Шарик совершает перемещение, равное радиусу траектории \( R \), за \( t = 1 \text{ с} \). Скорость шарика \( v \) равна:
   \( v = \frac{R}{t} = \frac{0.2 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 0.2 \text{ м/с} \).
3. Шаг 3: Расчет периода вращения.
   Период вращения \( T \) — это время, за которое шарик совершает один полный оборот. Длина окружности траектории равна \( 2 \pi R \).
   \( v = \frac{2 \pi R}{T} \).
   Отсюда выразим период: \( T = \frac{2 \pi R}{v} \).
   \( T = \frac{2 \pi \cdot 0.2 \text{ м}}{0.2 \text{ м/с}} = 2 \pi \text{ с} \approx 6.28 \text{ с} \).
4. Шаг 4: Расчет угловой скорости.
   Угловая скорость \( \omega \) связана со скоростью через радиус: \( v = \omega R \).
   \( \omega = \frac{v}{R} = \frac{0.2 \text{ м/с}}{0.2 \text{ м}} = 1 \text{ рад/с} \).
   Также угловую скорость можно найти через период: \( \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1 \text{ рад/с} \).
5. Шаг 5: Расчет изменения импульса за 3 секунды.
   Импульс шарика \( \vec{p} = m \vec{v} \).
   Скорость шарика направлена по касательной к окружности. За 3 секунды шарик совершит \( n = \frac{3 \text{ с}}{T} = \frac{3}{2 \pi} \) оборота.
   За один полный оборот вектор скорости возвращается в исходное положение, поэтому изменение импульса за целое число оборотов равно нулю.
   Однако, в условии задачи дано, что шарик совершает перемещение, равное радиусу траектории за 1 секунду. Это означает, что за 1 секунду шарик проходит дугу длиной 0.2 м. Это не полный оборот, а лишь часть его. Мы нашли, что период вращения \( T ≈ 6.28 \text{ с} \).
   За 3 секунды шарик пройдет угол \( \alpha = \omega \cdot t = 1 \text{ рад/с} \cdot 3 \text{ с} = 3 \text{ рад} \).
   Вектор начальной скорости \( \vec{v}_1 \) и конечной скорости \( \vec{v}_2 \) образуют угол \( \alpha \).
   Изменение импульса: \( \Delta \vec{p} = m \vec{v}_2 - m \vec{v}_1 = m (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) \).
   Модуль изменения импульса \( |\Delta \vec{p}| = m |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| \).
   По теореме косинусов для разности векторов: \( |\vec{v}_2 - \vec{v}_1|^2 = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 - 2 |\vec{v}_1| |\vec{v}_2| \cos(\alpha) \).
   Так как \( |\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v = 0.2 \text{ м/с} \), то:
   \( |\vec{v}_2 - \vec{v}_1|^2 = v^2 + v^2 - 2 v^2 \cos(\alpha) = 2v^2 (1 - \cos(\alpha)) \).
   Используя формулу \( 1 - \cos(\alpha) = 2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \):
   \( |\vec{v}_2 - \vec{v}_1|^2 = 2v^2 (2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})) = 4v^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2}) \).
   \( |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| = 2v \sin(\frac{\alpha}{2}) \).
   \( |\Delta \vec{p}| = m ∙ 2v ∙ \sin(\frac{\alpha}{2}) \).
   \( |\Delta \vec{p}| = 0.1 \text{ кг} ∙ 2 ∙ 0.2 \text{ м/с} ∙ \sin(\frac{3 \text{ рад}}{2}) \).
   \( \sin(1.5 \text{ рад}) \approx 0.9975 \).
   \( |\Delta \vec{p}| ≈ 0.1 ∙ 2 ∙ 0.2 ∙ 0.9975 \text{ кг} ∙ \text{м/с} \approx 0.0399 \text{ кг} ∙ \text{м/с} \).
   Округляя, получаем \( 0.04 \text{ кг} ∙ \text{м/с} \).

Ответ: Период вращения \( T = 2 \pi \text{ с} \approx 6.28 \text{ с} \). Угловая скорость \( \omega = 1 \text{ рад/с} \). Модуль изменения импульса за 3 с \( \approx 0.04 \text{ кг} ∙ \text{м/с} \).