Некоторое количество азота находится в замкнутом сосуде при давлении 1 атм. Когда температуру сосуда повысили до 3000 К, давление увеличилось до 15 атм, при этом половина имевшихся молекул азота распалась на атомы. Какой была температура газа до нагревания?

Решение:

Обозначим начальные параметры: \( P_1 = 1 \) атм, \( T_1 = ? \), \( n_1 \) - количество молекул.

Конечные параметры: \( P_2 = 15 \) атм, \( T_2 = 3000 \) К, \( n_2 = \frac{1}{2} n_1 \) - количество частиц (половина молекул распалась на атомы, т.е. количество частиц удвоилось, но каждая новая частица - атом, а не молекула. Поэтому количество частиц стало \( n_1 \) молекул + \( \frac{n_1}{2} \) атомов. Уточнение: Если половина молекул распалась, то стало \( \frac{n_1}{2} \) молекул и \( 2 \cdot \frac{n_1}{2} = n_1 \) атомов. Общее количество частиц \( N_2 = \frac{n_1}{2} + n_1 = \frac{3}{2} n_1 \).

Для идеального газа в замкнутом сосуде используется уравнение Менделеева-Клапейрона: \( PV = nRT \).

Для начального состояния: \( P_1 V = \frac{n_1}{N_A} RT_1 \), где \( N_A \) - число Авогадро, \( R \) - универсальная газовая постоянная. \( nRT = N k T \), где \( N \) - число частиц, \( k \) - постоянная Больцмана.

В замкнутом сосуде объём \( V \) постоянен.

Запишем уравнение для начального и конечного состояний:

1) \( P_1 V = N_1 k T_1 \), где \( N_1 = n_1 \) (начальное количество молекул).

2) \( P_2 V = N_2 k T_2 \), где \( N_2 = \frac{3}{2} n_1 \) (конечное количество частиц).

Разделим второе уравнение на первое:

\( \frac{P_2 V}{P_1 V} = \frac{N_2 k T_2}{N_1 k T_1} \)

\( \frac{P_2}{P_1} = \frac{N_2 T_2}{N_1 T_1} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{15}{1} = \frac{\frac{3}{2} n_1 \cdot 3000}{n_1 \cdot T_1} \)

\( 15 = \frac{3/2 \cdot 3000}{T_1} \)

\( 15 = \frac{4500}{T_1} \)

\( T_1 = \frac{4500}{15} \)

\( T_1 = 300 \) К.

Ответ: 300 К.