Некоторое количество одинаковых елочных шаров можно разложить в коробки, рассчитанные на 12 штук, или в коробки, рассчитанные на 16 штук, и все коробки при этом будут заполнены. Сколько всего елочных шаров, если известно, что их больше 100, но меньше 180?

Решение:

Пусть x – количество елочных шаров. По условию задачи, это число должно делиться на 12 и на 16, то есть быть кратным числам 12 и 16. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Разложим числа 12 и 16 на простые множители:

$$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$$

$$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$$

Чтобы найти НОК, возьмем наибольшую степень каждого простого множителя, встречающегося в разложениях чисел 12 и 16:

$$НОК(12, 16) = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$$

Это означает, что число x должно быть кратно 48, то есть x должно быть одним из чисел:

$$48, 96, 144, 192, ...$$

По условию задачи, количество шаров x больше 100, но меньше 180. Единственное число из этого списка, которое удовлетворяет этому условию, – это 144.

Ответ: 144