Неоднородное бревно длиной у = 12 м можно уравновесить, положив его на подставку, установленную на расстоянии x = 3 м от толстого конца бревна (рис. 1). Если расположить подставку посередине бревна, то для того, чтобы оно находилось в равновесии, на тонкий конец бревна нужно положить груз массой 60 кг (рис. 2). 1) На каком расстоянии от тонкого конца находится центр тяжести бревна? 2) Чему равна масса бревна? 3) Если на тонкий конец бревна положить груз массой 80 кг, то груз какой массы нужно будет положить на толстый конец для того, чтобы система находилась в равновесии, если подставка находится посередине бревна? Ответы на вопросы обоснуйте соответствующими рассуждениями или решением задачи.

Разберем задачу по пунктам:

1. На каком расстоянии от тонкого конца находится центр тяжести бревна?

   Пусть (L) - длина бревна, (x) - расстояние от толстого конца до точки опоры в первом случае, (m) - масса груза, который нужно положить на тонкий конец во втором случае. Обозначим (d) расстояние от толстого конца до центра тяжести бревна.

   В первом случае, когда опора находится на расстоянии (x) от толстого конца, бревно находится в равновесии. Это означает, что момент силы тяжести относительно точки опоры равен нулю. Центр тяжести находится на расстоянии (d) от толстого конца. Во втором случае, когда опора находится посередине бревна (на расстоянии (L/2) от толстого конца), для равновесия необходимо положить груз (m) на тонкий конец.

   Из условия равновесия моментов сил в первом случае:

   $$Mg(x-d)=0$$

   Где M - масса бревна.

   Во втором случае, когда подставка посередине бревна:

   $$Mg(\frac{L}{2}-d) = mg(\frac{L}{2})$$

   Выразим (d) из первого уравнения: (d = x = 3) м.

   Тогда расстояние от тонкого конца до центра тяжести равно: (L - d = 12 - 3 = 9) м.

   Ответ: 9 м

2. Чему равна масса бревна?

   Подставим (d = 3) м и (L = 12) м во второе уравнение:

   $$M g (\frac{12}{2} - 3) = 60 g (\frac{12}{2})$$
   $$M (6 - 3) = 60 cdot 6$$
   $$3M = 360$$
   $$M = 120 кг$$

   Ответ: 120 кг

3. Если на тонкий конец бревна положить груз массой 80 кг, то груз какой массы нужно будет положить на толстый конец для того, чтобы система находилась в равновесии, если подставка находится посередине бревна?

   Пусть (m_1) - масса груза на тонком конце, (m_2) - масса груза на толстом конце. Условие равновесия моментов сил относительно середины бревна:

   $$M g (\frac{L}{2} - d) + m_1 g (\frac{L}{2}) = m_2 g (\frac{L}{2})$$

   Подставим известные значения: (M = 120) кг, (L = 12) м, (d = 3) м, (m_1 = 80) кг.

   $$120 (\frac{12}{2} - 3) + 80 (\frac{12}{2}) = m_2 (\frac{12}{2})$$
   $$120 (6 - 3) + 80 cdot 6 = m_2 cdot 6$$
   $$120 cdot 3 + 480 = 6 m_2$$
   $$360 + 480 = 6 m_2$$
   $$840 = 6 m_2$$
   $$m_2 = 140 кг$$

   Ответ: 140 кг