Неравенство (x - 7)^2 < $\sqrt{11}$(x - 7).

Question

$Фото задания: Неравенство (x - 7)^2 < $\sqrt{11}$(x - 7).$ Фото задания

Accepted Answer

Данное неравенство является квадратным. Для его решения, раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$ (x - 7)^2 < \sqrt{11}(x - 7) $

$ (x - 7)^2 - \sqrt{11}(x - 7) < 0 $

Вынесем общий множитель $ (x - 7) $ за скобки:

$ (x - 7) \left( (x - 7) - \sqrt{11} \right) < 0 $

$ (x - 7) (x - 7 - \sqrt{11}) < 0 $

Найдем корни уравнения $ (x - 7) (x - 7 - \sqrt{11}) = 0 $:

$ x - 7 = 0 $ или $ x - 7 - \sqrt{11} = 0 $

$ x_1 = 7 $ или $ x_2 = 7 + \sqrt{11} $

Теперь определим знак выражения $ (x - 7) (x - 7 - \sqrt{11}) $ на интервалах, полученных с помощью корней:

При $ x < 7 $ (например, x = 0): $ (0 - 7) (0 - 7 - \sqrt{11}) = (-7) (-7 - \sqrt{11}) = 49 + 7\sqrt{11} > 0 $
При $ 7 < x < 7 + \sqrt{11} $ (например, x = 8, так как $ \sqrt{11} \approx 3.3 $): $ (8 - 7) (8 - 7 - \sqrt{11}) = (1) (1 - \sqrt{11}) < 0 $
При $ x > 7 + \sqrt{11} $ (например, x = 11): $ (11 - 7) (11 - 7 - \sqrt{11}) = (4) (4 - \sqrt{11}) > 0 $

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Это происходит на интервале $ (7, 7 + \sqrt{11}) $.

Ответ: $ x \in (7; 7 + \sqrt{11}) $.

Неравенство (x - 7)^2 < \(\sqrt{11}\)(x - 7).