Несобственные интегралы Выберите правильный вариант: 1. \(\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2+x}\) 2. \(\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1}\)

Решение:

Рассмотрим первый интеграл: \( \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2+x} \).

Подынтегральная функция \( f(x) = \frac{1}{x^2+x} \) положительна и ведёт себя при \( x \to \infty \) как \( \frac{1}{x^2} \).

Интеграл \( \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^2} \) сходится (p-интеграл с \( p=2 > 1 \)).

По признаку сравнения, первый интеграл сходится.

Рассмотрим второй интеграл: \( \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1} \).

Подынтегральная функция \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}+1} \) положительна и ведёт себя при \( x \to \infty \) как \( \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}} \).

Интеграл \( \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{1/2}} \) расходится (p-интеграл с \( p=1/2 \le 1 \)).

По признаку сравнения, второй интеграл расходится.

Ответ: 1 сходится, 2 расходится.