Ниайдите расстояние от точки M до прямой AB. Реши 7-11 задачу

Задание 7

Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \), где \( AO = OB \) как радиусы окружности. Значит, \( \triangle AOB \) – равнобедренный.

Угол \( \angle AOB = 30^\circ \). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Найдем углы при основании \( \angle OAB \) и \( \angle OBA \):

\[\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ\]

Угол между радиусом и касательной равен 90 градусов, то есть \( \angle OMA = 90^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle AMO \):

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

Тогда угол \( \angle AOM \) равен:

\[\angle AOM = 180^\circ - 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ\]

Рассмотрим \( \triangle OMA \).

Расстояние от точки M до прямой AB – это отрезок MA.

Найдем MA, используя тангенс угла \( \angle AOM \):

\[tg(\angle AOM) = \frac{MA}{OM}\] \[MA = OM \cdot tg(\angle AOM)\] \[MA = 6 \cdot tg(15^\circ)\]

Значение \( tg(15^\circ) \) можно найти, используя формулу тангенса половинного угла или заметить, что \( tg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{tg(45^\circ) - tg(30^\circ)}{1 + tg(45^\circ)tg(30^\circ)} \).

Но обычно это не проходят в школьном курсе геометрии, поэтому оставим ответ в виде:

\[MA = 6 \cdot tg(15^\circ)\]

Задание 8

Рассмотрим \( \triangle AMC \).

Он прямоугольный, так как \( \angle AMC = 90^\circ \).

Угол \( \angle MAC = 30^\circ \).

Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Тогда \( MC = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \).

Задание 9

По теореме о вписанном угле, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол \( \angle AMB = 45^\circ \), значит, центральный угол \( \angle AOB = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle AOB \). Он прямоугольный и равнобедренный (так как \( AO = OB \) как радиусы).

Тогда по теореме Пифагора:

\[AB^2 = AO^2 + OB^2\]

Так как \( AO = OB = r \), то:

\[14^2 = r^2 + r^2\] \[196 = 2r^2\] \[r^2 = 98\] \[r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\]

Расстояние от точки M до прямой AB – это высота, опущенная из точки M на AB. Обозначим эту точку за H.

Тогда MH – это и есть искомое расстояние.

Проведем радиус OM. Тогда \( OM = r = 7\sqrt{2} \).

OH – это расстояние от центра окружности до хорды AB.

В прямоугольном равнобедренном \( \triangle AOB \) высота, опущенная из вершины O на гипотенузу AB, равна половине гипотенузы.

То есть \( OH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \).

Тогда рассмотрим \( \triangle OMH \).

Он прямоугольный, так как MH – расстояние от точки до прямой.

Тогда по теореме Пифагора:

\[OM^2 = OH^2 + MH^2\] \[MH^2 = OM^2 - OH^2\] \[MH^2 = (7\sqrt{2})^2 - 7^2\] \[MH^2 = 98 - 49 = 49\] \[MH = \sqrt{49} = 7\]

Задание 10

Пусть \( AM = x \), тогда \( MB = x - 7 \).

Рассмотрим \( \triangle ABM \).

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

Тогда \( \angle AMB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

\[tg(30^\circ) = \frac{MB}{AB}\] \[AB = \frac{MB}{tg(30^\circ)}\]

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

\[sin(30^\circ) = \frac{MB}{AM}\] \[AM = \frac{MB}{sin(30^\circ)}\]

Подставим \( AM = x \) и \( MB = x - 7 \):

\[x = \frac{x - 7}{0.5}\] \[0.5x = x - 7\] \[0.5x = 7\] \[x = 14\]

Тогда \( AM = 14 \), \( MB = 14 - 7 = 7 \).

Теперь найдем AB:

\[AB = \frac{7}{tg(30^\circ)} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{7 \cdot 3}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3}\]

Расстояние от точки M до прямой AB – это длина катета MB, то есть 7.

Задание 11

Так как \( AM = MB = AB \), то \( \triangle ABM \) – равносторонний.

Значит, все углы в нем равны 60 градусов.

Проведем высоту из точки M на сторону AB. Обозначим эту точку за H.

Тогда MH – это и есть расстояние от точки M до прямой AB.

Рассмотрим \( \triangle AMH \).

Он прямоугольный, так как MH – высота.

Тогда \( \angle MAH = 60^\circ \), \( \angle AMH = 30^\circ \).

Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Тогда \( AH = \frac{1}{2}AM \).

Так как \( AM = AB \), то \( AH = \frac{1}{2}AB \).

Рассмотрим четырехугольник DEBM.

DE \( \parallel \) MB, EB \( \parallel \) DM, \( \angle DEB = 90^\circ \), значит, DEBM – прямоугольник.

Тогда \( MB = DE = 4 \).

Так как \( AM = MB \), то \( AM = 4 \).

Тогда \( AH = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \).

Теперь найдем MH по теореме Пифагора из \( \triangle AMH \):

\[AM^2 = AH^2 + MH^2\] \[MH^2 = AM^2 - AH^2\] \[MH^2 = 4^2 - 2^2\] \[MH^2 = 16 - 4 = 12\] \[MH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: 7. \(6 \cdot tg(15^\circ)\); 8. 5; 9. 7; 10. 7; 11. \(2\sqrt{3}\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил теорему Пифагора и свойства углов в треугольниках.

Уровень эксперт: Если возникли трудности с пониманием материала, удели дополнительное время повторению свойств углов и теоремы Пифагора.