НОК двух чисел, не делящихся друг на друга, равно 630, а их НОД равен 18. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть данные числа равны \(a\) и \(b\). Известно, что \(a\) и \(b\) не делятся друг на друга.

Также дано:

• Наименьшее общее кратное (НОК) чисел \(a\) и \(b\): \( \text{НОК}(a, b) = 630 \)
• Наибольший общий делитель (НОД) чисел \(a\) и \(b\): \( \text{НОД}(a, b) = 18 \)

Существует основное свойство НОД и НОК, которое гласит:

\( a \cdot b = \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) \)

Подставим известные значения:

\( a \cdot b = 18 \cdot 630 \)

\( a \cdot b = 11340 \)

Так как \( \text{НОД}(a, b) = 18 \), то оба числа можно представить в виде:

\( a = 18x \)

\( b = 18y \)

где \(x\) и \(y\) — взаимно простые числа (то есть их НОД равен 1), и \(x \neq y\) (по условию числа не делятся друг на друга).

Подставим эти выражения в уравнение произведения:

\( (18x) \cdot (18y) = 11340 \)

\( 324xy = 11340 \)

Разделим обе части на 324:

\( xy = \frac{11340}{324} \)

\( xy = 35 \)

Теперь нам нужно найти пары взаимно простых чисел \(x\) и \(y\), произведение которых равно 35. Возможные пары множителей числа 35:

• 1 и 35
• 5 и 7

Проверим, являются ли эти пары взаимно простыми:

• Пара (1, 35): \( \text{НОД}(1, 35) = 1 \). Взаимно простые.
• Пара (5, 7): \( \text{НОД}(5, 7) = 1 \). Взаимно простые.

Теперь найдем сами числа \(a\) и \(b\) для каждой пары:

Вариант 1: \(x=1, y=35\)

\( a = 18 × 1 = 18 \)

\( b = 18 × 35 = 630 \)

Проверим условие, что числа не делятся друг на друга. 630 делится на 18. Этот вариант не подходит.

Вариант 2: \(x=5, y=7\)

\( a = 18 × 5 = 90 \)

\( b = 18 × 7 = 126 \)

Проверим условие, что числа не делятся друг на друга. 126 не делится на 90, и 90 не делится на 126. Они взаимно простые, их НОД равен 18. НОК(90, 126) = \( \frac{90 × 126}{18} = 5 × 126 = 630 \). Этот вариант подходит.

Ответ: числа равны 90 и 126.