non allb Вариант 1 08.04. №1. Высота остроугольного треугольника АВС образует со сторонами, выходящими из той же вершины, углы 14° и 58°. Найдите углы треугольника АВС №2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C=90° и ∠A=30°, проведена медиана СМ и биссектриса MD ACMA. Найдите MD, если ВС-32см. №3. Найдите меньший угол между биссектрисой острого угла прямоугольного треугольника и противоположным катетом, если второй острый угол равон 54°

№1.

Высота остроугольного треугольника ABC образует со сторонами, выходящими из той же вершины, углы 14° и 58°. Найдите углы треугольника ABC.

Решение:

• Пусть высота, опущенная из вершины B, пересекает сторону AC в точке H.
• Тогда ∠ABH = 14° и ∠CBH = 58°.
• Следовательно, ∠ABC = ∠ABH + ∠CBH = 14° + 58° = 72°.
• Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• Пусть ∠A = 14°, тогда ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 14° - 72° = 94°. Но так как треугольник остроугольный, то ∠A = 58°.
• Тогда ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 58° - 72° = 50°.

Ответ: ∠ABC = 72°, ∠A = 58°, ∠C = 50°

№2.

В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90° и ∠A=30°, проведена медиана СМ и биссектриса MD ACMA. Найдите MD, если ВС-32см.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90° и ∠A = 30°, катет BC лежит против угла в 30°, следовательно, BC = 1/2 AB.
• Дано, что BC = 32 см, следовательно, AB = 2 * BC = 2 * 32 = 64 см.
• Медиана CM, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, следовательно, CM = 1/2 AB = 1/2 * 64 = 32 см.
• Так как CM = BC = 32 см, то треугольник CMB равнобедренный, следовательно, ∠MBC = ∠BMC.
• ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.
• ∠MBC = ∠BMC = 60°.
• MD - биссектриса угла CMA. Значит, ∠CMD = ∠DMA.
• ∠CMA = 180° - ∠BMC = 180° - 60° = 120°.
• ∠DMA = 1/2 ∠CMA = 1/2 * 120° = 60°.
• В треугольнике DMA, ∠DMA = 60°, ∠A = 30°, следовательно, ∠MDA = 180° - ∠DMA - ∠A = 180° - 60° - 30° = 90°.
• Треугольник DMA прямоугольный.
• DM лежит против угла ∠A = 30°, следовательно, DM = 1/2 AM.
• AM = 1/2 AB = 1/2 * 64 = 32 см.
• DM = 1/2 AM = 1/2 * 32 = 16 см.

Ответ: MD = 16 см

№3.

Найдите меньший угол между биссектрисой острого угла прямоугольного треугольника и противоположным катетом, если второй острый угол равен 54°.

Решение:

• Пусть в прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) угол A равен 54°. Тогда угол B равен 90° - 54° = 36°.
• Рассмотрим биссектрису BD угла B. Тогда ∠ABD = ∠DBC = 36° / 2 = 18°.
• Угол между биссектрисой BD и катетом AC - это угол между BD и AC. Обозначим точку пересечения биссектрисы BD и катета AC как точку E.
• В треугольнике BEC, ∠BEC = 180° - ∠BCE - ∠EBC = 180° - 90° - 18° = 72°.
• Меньший угол между биссектрисой и катетом - это угол, смежный с ∠BEC.
• Этот угол равен 180° - ∠BEC = 180° - 72° = 108°.
• Угол между биссектрисой и катетом - 72°.

Ответ: 72°