2 NOOR HARDTMUTH 150 2 10 B CXA1 0 Домашняя работа. Дано: ΔABC- 10 СС1, АА1, ВВ1-медианы ( AB = BC = 10 см A 16 B1 e AC=16см Найти: AO

Рассмотрим задачу по геометрии, связанную с нахождением длины отрезка медианы в равнобедренном треугольнике.

Дано: треугольник ABC, где AB = BC = 10 см, AC = 16 см, CC₁, AA₁ и BB₁ — медианы треугольника, O — точка пересечения медиан.

Найти: AO.

Решение:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что AO составляет 2/3 от длины медианы AA₁.
2. Чтобы найти длину медианы AA₁, рассмотрим треугольник ABC. Медиана AA₁ делит сторону BC пополам, поэтому BA₁ = A₁C = BC/2 = 10/2 = 5 см.
3. Теперь рассмотрим треугольник ABA₁. В этом треугольнике известны две стороны (AB = 10 см и BA₁ = 5 см) и сторона AC = 16 см. Медиана AA₁ может быть найдена с использованием теоремы косинусов или через формулу для медианы треугольника.
4. Используем формулу для медианы треугольника, проведенной к стороне a: $$m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$ В нашем случае, медиана AA₁ проведена к стороне BC (a = 10 см), а две другие стороны треугольника ABC — это AB = 10 см (c) и AC = 16 см (b).
5. Подставляем значения в формулу: $$AA_1 = \frac{1}{2} \sqrt{2(16)^2 + 2(10)^2 - (10)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(256) + 2(100) - 100} = \frac{1}{2} \sqrt{512 + 200 - 100} = \frac{1}{2} \sqrt{612} = \frac{1}{2} \sqrt{36 \cdot 17} = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{17} = 3\sqrt{17}$$ Значит, длина медианы AA₁ равна $$3\sqrt{17}$$ см.
6. Теперь найдём AO, зная, что AO составляет 2/3 от AA₁: $$AO = \frac{2}{3} AA_1 = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{17} = 2\sqrt{17}$$ Таким образом, длина отрезка AO равна $$2\sqrt{17}$$ см.

Округлим значение до десятых: $$2\sqrt{17} \approx 2 \cdot 4.123 = 8.246 \approx 8.2$$

Ответ: $$AO = 2\sqrt{17} \approx 8.2$$ см