No11 Постройте график функции y= { - х²-2x-3 при х> -2, 1-2-7 при х<-2. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график заданной кусочной функции.

1. Первый участок: y = -x² - 2x - 3 при x ≥ -2.

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$$ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -1 $$ $$ y_в = -(-1)^2 - 2(-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2 $$

Вершина параболы находится в точке (-1, -2). Так как рассматриваем x ≥ -2, найдем значение функции при x = -2:

$$ y(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3 $$

При x = -2 функция имеет значение -3. Таким образом, первая часть графика начинается в точке (-2, -3) и идет вправо.

2. Второй участок: y = -x - 7 при x < -2.

Это прямая линия с угловым коэффициентом -1. Найдем значение функции при x = -2:

$$ y(-2) = -(-2) - 7 = 2 - 7 = -5 $$

При x = -2 функция имеет значение -5. Таким образом, вторая часть графика представляет собой прямую, начинающуюся в точке (-2, -5) и идущую влево.

3. Определение значений m:

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки в следующих случаях:

• Прямая проходит через вершину параболы, т.е. m = -2. В этом случае прямая касается параболы в вершине, и пересекает прямую y = -x - 7 в одной точке.
• Прямая проходит через точку (-2, -3), которая является концом первого участка функции. В этом случае прямая пересекает параболу в точке (-2, -3) и пересекает прямую y = -x - 7 в одной точке.

       ^
       |
       |         * (-1,-2) - вершина параболы
       |       /
       |      /
 -2    |-----+/
       |    /
       |   /
 -3    |*- -/
       |/   
 -5    |* точка (-2, -5) вторая часть функции
       | 
       +-------------------------->
        -2

Ответ: m = -2