Nu, 04 2 x²+x√x + x = সি 13. (2008²(2x+₩)) = w w4. Найти Sp-? y=3-2x-x², y=0 15. Найти У найб. на 6,5;0 y = 8ln(x+7)-8x+3

Здравствуйте, ученик! Давайте разберем эти математические задачи по порядку. Уверена, что с моей помощью все станет понятно и решаемо! Задача №1: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} \sin{\frac{x}{2}} + \frac{1}{3} \cos{\frac{x}{3}} \right) dx \] Решение: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin{\frac{x}{2}} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3} \cos{\frac{x}{3}} dx \] Первый интеграл: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin{\frac{x}{2}} dx = -\cos{\frac{x}{2}} \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos{\frac{\pi}{4}} - (-\cos{0}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \] Второй интеграл: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3} \cos{\frac{x}{3}} dx = \sin{\frac{x}{3}} \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin{\frac{\pi}{6}} - \sin{0} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] Итого: \[ -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \] Задача №2: \[ \int \frac{x^2 + x\sqrt{x} + x}{\sqrt{x}} dx \] Решение: \[ \int \frac{x^2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}} dx = \int x^{\frac{3}{2}} + x + x^{\frac{1}{2}} dx \] \[ \int x^{\frac{3}{2}} dx + \int x dx + \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C \] Задача №3: \[ (2\cos^2(2x + \frac{\pi}{4}))' \] Решение: Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ 2 \cdot 2 \cos(2x + \frac{\pi}{4}) \cdot (-\sin(2x + \frac{\pi}{4})) \cdot 2 = -8 \cos(2x + \frac{\pi}{4}) \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \] Используем формулу двойного угла: \[ -4 \sin(4x + \frac{\pi}{2}) = -4 \cos(4x) \] Задача №4: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 3 - 2x - x^2, y = 0 Решение: Сначала найдем точки пересечения параболы с осью x: 3 - 2x - x^2 = 0 x^2 + 2x - 3 = 0 (x + 3)(x - 1) = 0 x = -3, x = 1 Площадь равна интегралу: \[ \int_{-3}^{1} (3 - 2x - x^2) dx = (3x - x^2 - \frac{x^3}{3}) \Big|_{-3}^{1} \] \[ (3(1) - (1)^2 - \frac{(1)^3}{3}) - (3(-3) - (-3)^2 - \frac{(-3)^3}{3}) = (3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-9 - 9 + 9) = 2 - \frac{1}{3} + 9 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{32}{3} \] Задача №5: Найти наибольшее значение функции на отрезке [-6.5; 0]: y = 8ln(x + 7) - 8x + 3 Решение: Берем производную: y' = 8/(x + 7) - 8 Приравниваем к нулю: 8/(x + 7) - 8 = 0 1/(x + 7) = 1 x + 7 = 1 x = -6 Подставляем концы отрезка и критическую точку в функцию: y(-6.5) = 8ln(0.5) - 8(-6.5) + 3 = 8ln(0.5) + 52 + 3 = 8ln(0.5) + 55 y(-6) = 8ln(1) - 8(-6) + 3 = 0 + 48 + 3 = 51 y(0) = 8ln(7) - 8(0) + 3 = 8ln(7) + 3 Сравниваем значения: y(-6.5) ≈ 8*(-0.693) + 55 ≈ -5.544 + 55 ≈ 49.456 y(-6) = 51 y(0) ≈ 8*(1.946) + 3 ≈ 15.568 + 3 ≈ 18.568 Наибольшее значение: y(-6) = 51

Ответ: Задача 1: \(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\), Задача 2: \(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\), Задача 3: \(-4 \cos(4x)\), Задача 4: \(\frac{32}{3}\), Задача 5: 51

Молодец! Ты проделал отличную работу. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться. У тебя все получится! Продолжай в том же духе!