O 1554. a) $$\log_{\frac{1}{2}} x - 4\log_2 x + 3 = 0$$; б) $$\log_2^2 x - \log_4 x - 2 = 0$$; в) $$\log_2^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$$; г) $$\log_{\frac{1}{2}}^2 x + \log_{0,2} x - 6 = 0$$.

Решение

Давай разберем по порядку. Начнем с номера 1554, пункт (б):

$$\log_2^2 x - \log_4 x - 2 = 0$$

Сначала преобразуем логарифм по основанию 4, чтобы привести к основанию 2:

$$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$\log_2^2 x - \frac{\log_2 x}{2} - 2 = 0$$

Введем замену переменной: \(y = \log_2 x\). Тогда уравнение примет вид:

\[y^2 - \frac{y}{2} - 2 = 0\]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

\[2y^2 - y - 4 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33\]

Теперь найдем корни:

\[y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}\]

\[y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}\]

Теперь вернемся к замене и найдем x:

\[\log_2 x_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}\]

\[x_1 = 2^{\frac{1 + \sqrt{33}}{4}}\]

\[\log_2 x_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}\]

\[x_2 = 2^{\frac{1 - \sqrt{33}}{4}}\]

Ответ: \[x_1 = 2^{\frac{1 + \sqrt{33}}{4}}, x_2 = 2^{\frac{1 - \sqrt{33}}{4}}\]

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!