O is the origin and OPQR is a parallelogram. M is the midpoint of PQ and N divides QR in the ratio 2 : 1. \(\overrightarrow{OP}=\mathbf a\) and \(\overrightarrow{OR}=\mathbf b\). (a) Find \(\overrightarrow{MN}\). Give your answer in terms of \(\mathbf a\) and/or \(\mathbf b\) in its simplest form. (b) The lines MN and OR are extended to meet at S. Find the position vector of S. Give your answer in terms of \(\mathbf a\) and/or \(\mathbf b\) in its simplest form.

В параллелограмме \(\overrightarrow{OQ}=\mathbf a+\mathbf b\).

Так как M — середина PQ, а \(\overrightarrow{PQ}=\mathbf b\), получаем \(\overrightarrow{OM}=\mathbf a+\frac12\mathbf b\).

N делит QR в отношении 2:1, то есть \(QN:NR=2:1\). Поскольку \(\overrightarrow{QR}=-\mathbf a\), имеем \(\overrightarrow{ON}=\mathbf a+\mathbf b+\frac23(-\mathbf a)=\frac13\mathbf a+\mathbf b\).

(a) \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(\frac13\mathbf a+\mathbf b)-(\mathbf a+\frac12\mathbf b)=-\frac23\mathbf a+\frac12\mathbf b\).

(b) Пусть \(\overrightarrow{OS}=t\mathbf b\), поскольку S лежит на прямой OR. Также S лежит на прямой MN, поэтому \(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+k\overrightarrow{MN}\). Сравнивая коэффициенты при \(\mathbf a\), получаем \(1-\frac23k=0\), откуда \(k=\frac32\). Тогда коэффициент при \(\mathbf b\) равен \(\frac12+\frac32\cdot\frac12=\frac54\).

Ответ: (a) \(\overrightarrow{MN}=-\frac23\mathbf a+\frac12\mathbf b\); (b) \(\overrightarrow{OS}=\frac54\mathbf b\).