о натуральные числа А, В и С известно, что каждое из них больше 4, но меньшая. Задали натуральное число, затем его умножили на А, потом прибавили к полученному произведению В и вычли С. Получилось 165. Какое число было загадано?

Решение:

Пусть загаданное число равно \( x \). Из условия задачи известно, что \( x \) — натуральное число и \( x > 4 \).

Число умножили на \( A \): \( x \cdot A \).

К полученному произведению прибавили \( B \): \( x \cdot A + B \).

Из этого вычли \( C \): \( x \cdot A + B - C \).

Получилось \( 165 \). Составим уравнение:

\( x \cdot A + B - C = 165 \)

Также известно, что \( A, B, C \) — натуральные числа и \( A > 4, B > 4, C > 4 \).

Перепишем уравнение:

\( x \cdot A = 165 - B + C \)

Так как \( x \) — натуральное число, то \( x \cdot A \) должно быть делителем \( 165 \) с учётом ограничений для \( A, B, C \).

Разложим \( 165 \) на множители: \( 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11 \).

Мы знаем, что \( A > 4 \) и \( x > 4 \). Следовательно, \( x \cdot A \) должно быть больше \( 4 \cdot 4 = 16 \).

Возможные значения для \( x \cdot A \) из делителей \( 165 \) (которые больше 16): \( 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165 \), \( 5 \cdot 11 = 55 \), \( 3 \cdot 11 = 33 \).

Рассмотрим случай \( x \cdot A = 55 \). Возможные пары \( x \) и \( A \) (где оба > 4): \( x=5, A=11 \) или \( x=11, A=5 \).

Если \( x = 5 \) и \( A = 11 \), то \( 165 - B + C = 55 \) → \( C - B = 55 - 165 = -110 \) → \( B - C = 110 \). Это возможно, например, если \( B = 115 \) и \( C = 5 \). Но \( C > 4 \), так что \( C = 5 \) подходит. \( B = 115 > 4 \) подходит. \( A = 11 > 4 \) подходит. \( x = 5 > 4 \) подходит. Значит, \( x=5 \) — возможное решение.

Если \( x = 11 \) и \( A = 5 \), то \( 165 - B + C = 55 \) → \( C - B = -110 \) → \( B - C = 110 \). Это также возможно. Например, \( B = 115, C = 5 \).

Рассмотрим случай \( x \cdot A = 33 \). Возможные пары \( x \) и \( A \) (где оба > 4): \( x=11, A=3 \) — не подходит, так как \( A \) должно быть больше 4. \( x=3, A=11 \) — не подходит, так как \( x \) должно быть больше 4.

Рассмотрим случай \( x \cdot A = 165 \). Возможные пары \( x \) и \( A \) (где оба > 4): \( x=5, A=33 \) или \( x=11, A=15 \) или \( x=15, A=11 \) или \( x=33, A=5 \) — не подходит, так как \( A > 4 \).

Если \( x = 5 \) и \( A = 33 \), то \( 165 - B + C = 165 \) → \( C - B = 0 \) → \( C = B \). Это возможно, если \( B = C > 4 \). Например, \( B=5, C=5 \).

Следовательно, загаданное число может быть 5.

Проверим: Если загаданное число 5, \( A=11, B=115, C=5 \).

\( 5 \cdot 11 + 115 - 5 = 55 + 115 - 5 = 170 - 5 = 165 \).

Если загаданное число 5, \( A=33, B=5, C=5 \).

\( 5 \cdot 33 + 5 - 5 = 165 + 0 = 165 \).

Ответ: 5