O — точка пересечения медиан треугольника ABC. SA_ABD = 24. Найдите SA_DOC.

Решение:

Точка пересечения медиан треугольника является его центром масс. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих по площади треугольников.

Дано:

• \( S_{\triangle ABD} = 24 \)

Найти:

• \( S_{\triangle DOC} \)

Пояснение:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих по площади. Так как BD — медиана, то \( S_{\triangle ABD} = S_{\triangle CBD} = 24 \).
2. Площадь всего треугольника \( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD} = 24 + 24 = 48 \).
3. Центр масс (точка O) делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
4. Рассмотрим треугольник ABD. Медиана AO делит его на два равновеликих по площади треугольника: \( S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOD} \).
5. Так как \( S_{\triangle ABD} = 24 \), то \( S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOD} = \frac{24}{2} = 12 \).
6. Рассмотрим треугольник ABC. Медиана CO делит его на два равновеликих по площади треугольника: \( S_{\triangle AOC} = S_{\triangle BOC} \).
7. Медиана BO делит треугольник ABC на два равновеликих по площади треугольника: \( S_{\triangle ABO} = S_{\triangle CBO} \).
8. Известно, что \( S_{\triangle ABO} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle BOD} = 12 + 12 = 24 \).
9. Так как \( S_{\triangle ABO} = S_{\triangle CBO} \), то \( S_{\triangle CBO} = 24 \).
10. Рассмотрим треугольник BOC. Медиана DO делит его пополам: \( S_{\triangle DOC} = S_{\triangle DOB} \).
11. Мы уже нашли, что \( S_{\triangle DOB} = 12 \).
12. Следовательно, \( S_{\triangle DOC} = 12 \).

Альтернативное решение:

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих по площади треугольников: \( \triangle AOD, \triangle BOD, \triangle BOC, \triangle COA, \triangle DOC, \triangle DOB \).

Площадь \( \triangle ABD = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle BOD} = 24 \).

Так как \( S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOD} \), то \( S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOD} = 12 \).

Треугольники \( \triangle BOD \) и \( \triangle DOC \) имеют равные основания (BD=DC, так как CD — медиана) и общую высоту, проведенную из вершины B (или C). Следовательно, их площади равны.

\( S_{\triangle DOC} = S_{\triangle BOD} = 12 \).

Ответ: 12