О - центр окружности. Найдите градусную меру угла или дуги, обозначенные знаком вопроса.

Решение:

№ 1: Дуга AB = 102°. Центральный угол ∠AOB равен градусной мере дуги AB. ∠AOB = 102°.

№ 2: Дуга AB = 84°. Вписанный угол ∠ACB равен половине градусной меры дуги AB. ∠ACB = 84° / 2 = 42°.

№ 3: Вписанный угол ∠ACB = 84°. Центральный угол ∠AOB равен градусной мере дуги AB. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB = 2 * ∠ACB = 2 * 84° = 168°. ∠AOB = 168°.

№ 4: Дуга AB = 97°, дуга AC = 85°. Угол ∠BAC - вписанный, он опирается на дугу BC. Дуга BC = 360° - 97° - 85° = 178°. ∠BAC = 178° / 2 = 89°. Угол ∠ABC - вписанный, опирается на дугу AC. ∠ABC = 85° / 2 = 42.5°. Угол ∠BCA - вписанный, опирается на дугу AB. ∠BCA = 97° / 2 = 48.5°.

№ 5: Угол ∠ACB = 35°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB = 2 * 35° = 70°. Дуга AB = 70°. Угол ∠BAC опирается на дугу BC. Угол ∠ABC опирается на дугу AC. Недостаточно данных для решения.

№ 6: Угол ∠BAC = 58°, дуга AB = 99°. Вписанный угол ∠BAC равен половине дуги BC. Значит, дуга BC = 2 * 58° = 116°. Дуга BC = 116°. Угол ∠ABC опирается на дугу AC. Угол ∠BCA опирается на дугу AB. ∠BCA = 99° / 2 = 49.5°. Дуга AC = 360° - 99° - 116° = 145°. ∠ABC = 145° / 2 = 72.5°.

№ 7: ∠OAB = 26°. OA = OB (радиусы), значит треугольник AOB равнобедренный. Углы при основании равны: ∠OBA = ∠OAB = 26°. Сумма углов в треугольнике AOB = 180°. ∠AOB = 180° - (26° + 26°) = 180° - 52° = 128°. Центральный угол ∠AOB равен дуге AB. Дуга AB = 128°.

№ 8: AB = BO = OA. Это означает, что треугольник AOB равносторонний, и все его углы равны 60°. ∠AOB = 60°. Центральный угол ∠AOB равен дуге AB. Дуга AB = 60°. Угол ∠ACB - вписанный, опирается на дугу AB. ∠ACB = 60° / 2 = 30°.

№ 9: ∠BCA + ∠BOA = 129°. ∠BOA - центральный угол, равен дуге AB. ∠BCA - вписанный, равен половине дуги AB. Пусть ∠BCA = x, тогда ∠BOA = 2x. x + 2x = 129°. 3x = 129°. x = 129° / 3 = 43°. Значит, ∠BCA = 43°. ∠BOA = 2 * 43° = 86°. Угол ∠BDA - вписанный, опирается на дугу AB. ∠BDA = 86° / 2 = 43°.

№ 10: ∠ABC = 104°. Это тупой вписанный угол, он опирается на большую дугу AC. Меньшая дуга AC = 2 * (180° - 104°) = 2 * 76° = 152°. Центральный угол ∠AOC равен меньшей дуге AC. ∠AOC = 152°. (Примечание: ∠ABC опирается на дугу ADC, а ∠AOC - на дугу ABC. Если ∠ABC - вписанный угол, опирающийся на дугу AC, то он не может быть 104°, так как вписанный угол не может быть больше 180°, а дуга AC не может быть больше 360°. Поэтому предполагаем, что 104° - это угол, опирающийся на дугу AC.)

№ 11: ∠BAD = 86°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу BCD. Угол ∠BCD - вписанный, опирается на дугу BAD. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. ∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 86° = 94°.

№ 12: ∠ABC = 112°. Это тупой вписанный угол, опирающийся на дугу ADC. Меньшая дуга AC = 2 * (180° - 112°) = 2 * 68° = 136°. Центральный угол ∠AOC равен меньшей дуге AC. ∠AOC = 136°. Угол ∠CAD - вписанный, опирается на дугу CD. Недостаточно данных для решения.