О2.15. \(y=\begin{cases}x^3,\ если\ x<0,\\ -x^2+2x+2,\ если\ 0\le x\le2,\\ x,\ если\ 2<x\le4.\end{cases}\)

В записи функции:

• при \(x<0\) график — часть кубической параболы \(y=x^3\);
• на отрезке \([0;2]\) график — часть параболы \(y=-x^2+2x+2\);
• на интервале \((2;4]\) график — часть прямой \(y=x\).

Ключевые точки для построения:

• кубическая часть приближается к точке \((0;0)\), но эта точка открытая;
• для параболы: \((0;2)\) и \((2;2)\) — закрашенные точки, вершина \((1;3)\);
• для линейной части: точка \((2;2)\) открытая, точка \((4;4)\) закрашенная.

Проверка вершины параболы:

\[y=-x^2+2x+2=-(x-1)^2+3.\]

Следовательно, вершина имеет координаты \((1;3)\).

Область определения: \((-\infty;4]\).

Область значений кубической части: \((-\infty;0)\). Область значений двух остальных частей: \([2;4]\).

При \(x=0\) имеется разрыв: слева значение стремится к \(0\), а \(f(0)=2\). В точке \(x=2\) график непрерывен.

Ответ: область определения \((-\infty;4]\), область значений \((-\infty;0)\cup[2;4]\).