OAB is a triangle. A, B and C lie on a straight line, and P, Q and C lie on a straight line. P is the midpoint of OA, and Q is the midpoint of PC. OQ:QB = 3:1. \(\overrightarrow{OA}=4\mathbf a\) and \(\overrightarrow{OB}=5\mathbf b\). (a) Find, in terms of \(\mathbf a\) and \(\mathbf b\), the simplest form of (i) \(\overrightarrow{AB}\), (ii) \(\overrightarrow{OB}\), (iii) \(\overrightarrow{PO}\). (b) Using vectors, find the ratio AB:BC.

Question

Вопрос:

Фото задания: OAB is a triangle. A, B and C lie on a straight line, and P, Q and C lie on a straight line. P is the midpoint of OA, and Q…

OAB is a triangle. A, B and C lie on a straight line, and P, Q and C lie on a straight line. P is the midpoint of OA, and Q is the midpoint of PC. OQ:QB = 3:1. \(\overrightarrow{OA}=4\mathbf a\) and \(\overrightarrow{OB}=5\mathbf b\). (a) Find, in terms of \(\mathbf a\) and \(\mathbf b\), the simplest form of (i) \(\overrightarrow{AB}\), (ii) \(\overrightarrow{OB}\), (iii) \(\overrightarrow{PO}\). (b) Using vectors, find the ratio AB:BC.

Accepted Answer

Перевод задания: OAB — треугольник. Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки P, Q и C — на одной прямой. P — середина OA, Q — середина PC. OQ:QB = 3:1. \(\overrightarrow{OA}=4\mathbf a\), \(\overrightarrow{OB}=5\mathbf b\). (a) Найдите в терминах \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\) простейшую форму векторов (i) \(\overrightarrow{AB}\), (ii) \(\overrightarrow{OB}\), (iii) \(\overrightarrow{PO}\). (b) Используя векторы, найдите отношение AB:BC.

Решение (на английском):

(a)(i) Use \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\):
\(\overrightarrow{AB}=-4\mathbf a+5\mathbf b=5\mathbf b-4\mathbf a\).

Русский перевод: по правилу сложения векторов \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\), поэтому \(\overrightarrow{AB}=5\mathbf b-4\mathbf a\).

(ii) This vector is given: \(\overrightarrow{OB}=5\mathbf b\).

Русский перевод: этот вектор дан в условии: \(\overrightarrow{OB}=5\mathbf b\).

(iii) Since P is the midpoint of OA, \(\overrightarrow{OP}=2\mathbf a\). Hence \(\overrightarrow{PO}=-2\mathbf a\).

Русский перевод: поскольку P — середина OA, \(\overrightarrow{OP}=2\mathbf a\), поэтому \(\overrightarrow{PO}=-2\mathbf a\).

(b) The ratio OQ:QB is 3:1, so \(\overrightarrow{OQ}=\frac34\overrightarrow{OB}=\frac{15}{4}\mathbf b\). As Q is the midpoint of PC, \(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\frac{15}{2}\mathbf b-2\mathbf a\).

Русский перевод: из отношения OQ:QB = 3:1 следует \(\overrightarrow{OQ}=\frac34\overrightarrow{OB}=\frac{15}{4}\mathbf b\). Так как Q — середина PC, \(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\frac{15}{2}\mathbf b-2\mathbf a\).

Now \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\frac52\mathbf b-2\mathbf a=\frac12(5\mathbf b-4\mathbf a)=\frac12\overrightarrow{AB}\). Therefore, \(AB:BC=2:1\).

Русский перевод: \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\frac52\mathbf b-2\mathbf a=\frac12(5\mathbf b-4\mathbf a)=\frac12\overrightarrow{AB}\). Следовательно, \(AB:BC=2:1\).

Ответ: (a) (i) \(5\mathbf b-4\mathbf a\); (ii) \(5\mathbf b\); (iii) \(-2\mathbf a\). (b) \(AB:BC=2:1\).