Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболой y=1-x² и осью Ox, вычисляется с помощью интеграла

Решение:

Для нахождения объёма тела вращения, образованного вокруг оси Ox фигурой, ограниченной параболой \( y = 1 - x^2 \) и осью Ox, используется формула:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]

Сначала найдём пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осью Ox), приравняв \( y \) к нулю:

\[ 1 - x^2 = 0 \]\[ x^2 = 1 \]\[ x = \pm 1 \]

Таким образом, пределы интегрирования \( a = -1 \) и \( b = 1 \). Функция \( f(x) = 1 - x^2 \).

Подставляем в формулу:

\[ V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 dx \]

Раскроем квадрат:

\[ V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ V = \pi \left[ x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ V = \pi \left[ \left( 1 - \frac{2(1)^3}{3} + \frac{(1)^5}{5} \right) - \left( (-1) - \frac{2(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^5}{5} \right) \right] \]

\( V = \pi \left[ \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) - \left( -1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \right) \right] \)

\( V = \pi \left[ 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right] \)

\( V = \pi \left[ 2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5} \right] \)

Приведём к общему знаменателю:

\( V = \pi \left[ \frac{30}{15} - \frac{20}{15} + \frac{6}{15} \right] \)

\( V = \pi \left[ \frac{16}{15} \right] \)

Таким образом, объём тела вращения равен \( \frac{16\pi}{15} \).

Среди предложенных вариантов, правильным является интеграл, соответствующий этой формуле:

• \( \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 dx \)

Ответ: \( \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 dx \).