Объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями y=x+1, x=0 и x=2, равен

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем функцию \( f(x) \) и пределы интегрирования. В данном случае \( f(x) = x+1 \), \( a=0 \) и \( b=2 \).
2. Шаг 2: Возводим функцию в квадрат: \( (x+1)^{2} = x^{2} + 2x + 1 \).
3. Шаг 3: Подставляем в формулу и интегрируем:
   \( V = \pi \int_{0}^{2} (x^{2} + 2x + 1) dx \)
   \( V = \pi \left[ \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x \right]_{0}^{2} \)
4. Шаг 4: Вычисляем определенный интеграл, подставляя верхний и нижний пределы:
   \( V = \pi \left( (\frac{2^{3}}{3} + 2^{2} + 2) - (\frac{0^{3}}{3} + 0^{2} + 0) \right) \)
   \( V = \pi \left( \frac{8}{3} + 4 + 2 \right) \)
   \( V = \pi \left( \frac{8}{3} + 6 \right) \)
   \( V = \pi \left( \frac{8}{3} + \frac{18}{3} \right) \)
   \( V = \pi \left( \frac{26}{3} \right) \)

Ответ: \( \frac{26\pi}{3} \)