Глагол "дежуришь" относится ко второму спряжению глаголов. Во втором спряжении в окончаниях глаголов после шипящих (ж, ш, ч, щ) пишется и.
Проверим по начальной форме:
Начальная форма глагола — "дежурить".
Определим спряжение:
Глагол "дежурить" оканчивается на -ить, что указывает на второе спряжение (исключение составляют глаголы на -ить, которые относятся к первому спряжению, например: брить, стелить).
Определим окончание:
В форме "дежуришь" глагол стоит в настоящем времени, 2-м лице, единственном числе. Глаголы 2-го спряжения в этом случае имеют окончание -ишь.
Объяснение написания:
Правописание гласной "и" в окончании глагола "дежуришь" обусловлено правилом для глаголов 2-го спряжения.
Ответ: Правописание гласной "и" в окончании глагола "дежуришь" связано с тем, что это глагол II спряжения, и в форме 2-го лица единственного числа настоящего времени пишется окончание -ишь.