Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 432. Точка F лежит на боковом ребре CC₁ так, что CF : FC₁ = 2 : 1. Через точку F, вершину B и середину бокового ребра AA₁ проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольный параллелепипед на две части. Найдите объём большей из частей.

Введём координаты в единицах длины рёбер параллелепипеда: основание занимает квадрат \(0\le x,y\le1\), а высота — промежуток \(0\le z\le1\). Такое преобразование сохраняет отношение объёмов.

1. Координаты вершин и заданных точек: \(B=(1,0,0)\), \(F=(1,1,\frac{2}{3})\), а середина \(AA_1\) имеет координаты \((0,0,\frac{1}{2})\).
2. Плоскость через эти точки задаётся уравнением \(z=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}\).
3. Доля объёма ниже плоскости равна интегралу высоты над основанием, но там, где правая часть уравнения больше 1, высоту ограничивает верхняя грань куба. Поэтому доля равна \(\int_0^1\int_0^1\min\left(1,\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}\right)\,dy\,dx\).
4. Интеграл без ограничения сверху равен \(\frac{7}{12}\). Над верхней гранью возникает избыток в области \(0\le x\le\frac{1}{3}\), \(\frac{3(1+x)}{4}\le y\le1\); его величина равна \(\int_0^{1/3}\int_{3(1+x)/4}^1\left(\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}-1\right)\,dy\,dx=\frac{1}{432}\).
5. Значит, доли двух частей равны \(\frac{7}{12}-\frac{1}{432}=\frac{251}{432}\) и \(1-\frac{251}{432}=\frac{181}{432}\). Их объёмы: \(432\cdot\frac{251}{432}=251\) и \(432\cdot\frac{181}{432}=181\).

Ответ: объём большей части равен 251.