Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, описывается уравнением и(t) = 5 ≤ t ≤ 12, где т -рабочее время. Наибольшая производительность труда достигается при Выберите один ответ: Oa. 5<t≤7 Ob. 9<t≤ 11 Oc. 7<t≤9 Od. 8<t≤ 10

Для решения задачи необходимо найти, при каком значении t функция производительности труда достигает максимума. Производительность труда является производной от объема продукции.

1. Найдём производную функции u(t):

$$u(t) = -\frac{5}{3}t^3 + 45t^2 - 400t + 28$$

$$u'(t) = -5t^2 + 90t - 400$$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$$-5t^2 + 90t - 400 = 0$$

$$t^2 - 18t + 80 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$t = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{18 \pm 2}{2}$$

$$t_1 = \frac{18 + 2}{2} = 10$$

$$t_2 = \frac{18 - 2}{2} = 8$$

3. Определим, какая из критических точек соответствует максимуму производительности труда. Для этого найдем вторую производную функции u(t):

$$u''(t) = -10t + 90$$

4. Проверим знак второй производной в критических точках:

$$u''(10) = -10 \cdot 10 + 90 = -10$$

$$u''(8) = -10 \cdot 8 + 90 = 10$$

Так как u''(10) < 0, то точка t = 10 является точкой максимума. Так как u''(8) > 0, то точка t = 8 является точкой минимума.

5. Проверим, принадлежит ли t = 10 интервалу [5, 12]. Да, принадлежит.

6. Найдем интервал, которому принадлежит точка максимума t = 10.

Точка t=10 попадает в интервал 8 ≤ t ≤ 10.

Ответ: d. 8