Область сходимости степенного ряда (x-2)ⁿ ∑ --------- n=03ⁿ (n+2)² равна ... Выберите один ответ: ○ [0; 3] ○ (-5; 5] ○ [-1; 5] ○ [-3; 3]

Ответ: [-1; 5]

Рассмотрим степенной ряд вида:

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n\]

В нашем случае:

\[a_n = \frac{1}{3^n (n+2)^2}\] \[c = 2\]

Радиус сходимости R можно найти по формуле:

\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]

Подставим наши значения:

\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{3^n (n+2)^2}}{\frac{1}{3^{n+1} (n+3)^2}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3^{n+1} (n+3)^2}{3^n (n+2)^2} \right|\] \[R = \lim_{n \to \infty} \left| 3 \cdot \frac{(n+3)^2}{(n+2)^2} \right| = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^2\]

Разделим числитель и знаменатель на n:

\[R = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{2}{n}} \right)^2 = 3 \cdot \left( \frac{1+0}{1+0} \right)^2 = 3 \cdot 1^2 = 3\]

Итак, радиус сходимости равен 3. Теперь найдем интервал сходимости:

\[(c - R, c + R) = (2 - 3, 2 + 3) = (-1, 5)\]

Проверим концы интервала:

1. x = -1:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1-2)^n}{3^n (n+2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{3^n (n+2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+2)^2}\]

Этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как $$\frac{1}{(n+2)^2}$$ убывает и стремится к 0.

2. x = 5:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(5-2)^n}{3^n (n+2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{3^n (n+2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^2}\]

Этот ряд сходится, так как это p-ряд с p = 2 > 1.

Таким образом, область сходимости: [-1; 5].

Ответ: [-1; 5]

Уровень интеллекта: +50

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей